（1）傅里叶变换

非周期信号，不能直接利用傅里叶级数展开。但可将周期信号的傅里叶级数展开法，推广到非周期信号的频谱分析中去，导出非周期信号的傅里叶变换。

所谓周期信号，是指信号经过一段时间间隔——周期T不断重复出现的信号。当周期信号的周期趋于无穷大时，即T→∞，此时的周期信号就相当于非周期信号。从周期信号的傅里叶级数展开已知，随着周期增大，信号的基频分量频率值将降低，各谐波分量的频率间隔减小，当周期为无穷大时，信号的基频分量频率值将趋于零值，各谐波分量间的频率间隔也趋于零，即原周期信号的离散频谱变为了非周期信号的连续频谱，同时原傅里叶级数的求和变为了积分。下面讨论当周期信号的周期趋于无穷大时，傅里叶级数的复指数展开式的具体变化，由此得出非周期信号的傅里叶变换。

由式（1.44）和式（1.45）可知，周期信号的傅里叶级数的复指数展开式为

当T→∞时，，即，离散的nω0也将变成连续的ω，则式（1.50）变为

令

式（1.51）可写为

式（1.52）对时间t积分后，仅为角频率ω的函数，该式称为x（t）的傅里叶变化（FT），即通过该式，一个时间信号x（t）变成了频域信号X（ω）；式（1.53）对频率ω积分后变为了仅为时间t的函数，该式称为X（ω）的傅里叶逆变换（IFT），通过该式，一个频域信号X（ω）变成了时域信号x（t）。式（1.52）和式（1.53）被称为傅里叶变换对。

在工程实际应用中，频率采用国际单位制量纲Hz，用f表示（f＝ω/2π），并将X（ω）中的ω简单用f代替，傅里叶变换对变为

式（1.52）、式（1.53）、式（1.54）、式（1.55）可用符号简记为

也可用以下的形式表示傅里叶变换对，即

通常情况下X（f）是复数，可表示为

式中

被称为x（t）的幅值谱密度。

被称为x（t）的相位谱密度。

X（f）也可写成实部和虚部两部分，即

实部Re｛X（f）｝称为实谱密度，虚部Im｛X（f）｝称为虚谱密度。

之所以将非周期信号的频谱称为频谱密度，是因为非周期信号幅频谱|X（f）|的量纲与周期信号的幅频谱|Cn|的量纲不同，|Cn|为信号幅值的量纲，而|X（f）|为信号单位频宽上的幅值，故X（f）是频谱密度函数。

非周期信号的频谱一般具有连续性和衰减性等特性。

（2）傅里叶变换存在的充要条件

严格来说，非周期信号x（t）的傅里叶变换存在的充要条件是：

①x（t）在（－∞，∞）范围内满足狄里赫利条件。

②x（t）绝对可积，即

满足上述两个条件的x（t）的傅里叶变换如式（1.52）和式（1.54），式（1.52）和式（1.54）中的X（ω）和X（f）就是非周期信号的频谱。

下面通过几个例子来说明非周期信号的频谱分析。

例1.3　已知单位阶跃函数，信号x（t）＝e－atu（t），a＞0，求x（t）的频谱密度。

解　由式（1.54）

因此，幅值谱密度和相位谱密度分别为

如图1.17所示。

图1.17　指数函数的频谱密度

例1.4　求如图1.18（a）所示矩形脉冲信号x（t）的频谱密度，已知。

解　根据式（1.54），信号的傅里叶变换为

该矩形脉冲信号的频谱密度如图1.18（b）所示。它是一个sin c（t）型函数，并且是连续谱，包含了无穷多个频率成分，在，…处，幅值谱密度为零。相位谱在x（f）大于零时为0，在x（f）小于零时为π。

图1.18　矩形脉冲信号的频谱密度

（3）傅里叶变换的主要性质

傅里叶变换是信号分析与处理中时域描述与频域描述之间相互转换的基本数学工具。熟悉并掌握傅里叶变换的主要性质有助于了解信号在时域的某些特征、运算和变化在频域中所产生的相应的特征、运算和变化，以及频域对时域的反向影响。这里用FT表示傅里叶变换。

1）线性特性

若

则

式中　a1，a2——常数。

式（1.61）说明一个时域信号的幅值扩大若干倍，其对应的频谱函数幅值也扩大若干倍；线性特性还表明了任意数量信号的线性叠加性质：若干信号的时域叠加对应它们频域内频谱的矢量叠加。该性质可将一些复杂信号的傅里叶变换简化为计算参与叠加的简单信号的傅里叶变换之和，使求解简化。

2）时移性

若t0为常数，且

则

由式（1.62）有

即信号时移±t0后其幅值谱密度仍然为A（f），而相位谱密度则叠加了一个与频率呈线性关系的附加量±2πft0，即时域中的时移对应频域中的相移。

3）频移性

若f0为常数，且

(www.daowen.com)

则

式（1.63）说明，信号x（t）乘以复指数e±j2πf0t（复调制）后，其时域描述已大大改变，但其频谱的形状却无变化，只在频域作了一个位移。

信号的频移性又称为调制性，广泛应用于各类电子系统中，如调幅、同步解调等技术都是以频移特性为基础实现的。

4）时间比例性（尺度变换性）

若

则

式中　a——非零实数。

若令a＝－1，则可得

上式表明若在时域将某一信号反转，则其对应的傅里叶变换也将反转。

时间比例性表明，信号的持续时间与信号占有的频带宽度成反比，当时域尺度压缩（a＞1）时，对应的频域展宽且幅值减小；当时域尺度展宽（a＜1）时，对应的频域压缩且幅值增加，如图1.19所示。在测试技术中，有时需要缩短信号的持续时间，以加快信号的传输速度，相应地在频域中便会展宽其频带。

图1.19　时间比例性举例

5）对称性（对偶性）

若

则

利用傅里叶变换的对称性，可由已知的傅里叶变换对，获得逆向相应的变换对。例如，时域的矩形窗函数对应频域的森克函数，则时域的森克函数对应频域的矩形窗函数。

6）微分性

若

则

推论：

7）积分性

若

则

微分性和积分性用于振动测试时，如果测得同一对象的位移、速度、加速度中任一参量的频谱，则可由积分性或微分性得到其他两个参量的频谱。

（4）几种典型信号的频谱

1）δ（t）的频谱密度

将δ（t）进行傅里叶变换

因此，单位冲击函数具有无限宽广的频谱密度，而且在整个频率范围内不衰减，处处强度相等，如图1.20所示。这种信号是理想的白噪声。

图1.20　δ函数及其频谱密度

根据傅里叶变换的对称性质和时移、频移性质可得到傅里叶变换

2）正、余弦函数的频谱密度

由于正、余弦函数不满足绝对可积条件，故不能直接用式（1.54）对其进行傅里叶积分变换，而需要在傅里叶变换时引入δ函数。

根据欧拉公式，正、余弦函数可写为

根据式（1.72），可求得正、余弦函数的傅里叶变换

作出正弦函数和余弦函数的频谱密度函数图形，如图1.21所示。

图1.21　正弦函数和余弦函数的频谱密度

3）周期信号的频谱密度

严格来说，周期信号不满足绝对可积条件，不能直接用式（1.52）和式（1.54）来求其频谱密度，而需借助δ函数来求其频谱密度。具体步骤如下：设x（t）为周期信号，将其展开为傅里叶级数有

式中

再由式（1.72）求得x（t）的傅里叶变换为

例1.5　求均匀冲击序列的频谱密度。

均匀冲击序列是周期为T0的单位冲击函数组成的无穷序列，如图1.22（a）所示。其数学表达式为

由于均匀冲击序列是周期函数，故可由式（1.75）写出其傅里叶变换为

式中

如图1.22（c）所示，即时域均匀冲击序列的频谱为强度和周期都为f0的频域冲击序列。

图1.22　均匀冲击序列的频谱密度