最简单的周期信号是正弦信号或余弦信号，设某正弦信号为

式中　A——正弦信号的幅值；

θ——正弦信号的相位，rad；

ω——正弦信号的圆频率，rad/s；

f——正弦信号的频率，Hz。

如果正弦信号的周期为T，则

（1）傅里叶级数的三角函数展开式

在有限区间上，凡满足狄里赫利条件，即，信号在一个周期内连续或只含有有限个间断点的周期信号x（t）都可展开成傅里叶级数。傅里叶级数展开式有两种形式：三角函数展开式和复指数展开式。傅里叶级数的三角函数展开式为

式中

式中，a0代表了信号x（t）在积分区间内的均值，被称为常值分量或直流分量。

它是第n次谐波分量余弦项的值，被称为余弦分量。

它是第n次谐波分量正弦项的值，被称为正弦分量。

式中　T——基本周期；

ω0——圆频率，；

n＝1，2，3，…。

将式（1.29）中同频分量合并，可改写为

式中

将式（1.29）中同频分量合并，也可写为

式中，An与式（1.34）相同，则

图1.13　幅值谱图和相位谱图坐标

从式（1.33）和式（1.36）可以看出，周期信号是由一个或几个、乃至无穷多个不同频率的谐波叠加而成的。通常把ω0称为基频，并把成分Ansin（nω0t＋φn）称为n次谐波。An被称为第n次谐波的幅值，φn被称为第n次谐波的相位。以圆频率ω为横坐标，幅值An或相角φn为纵坐标作图（见图1.13），可分别得到周期信号的幅值谱图和相位谱图。由于n是整数序列，各频率成分都是ω0的整倍数，相邻频率的间隔Δω＝ω0＝2π/T，因而周期信号的谱线是离散的。

（2）傅里叶级数的复指数展开式

傅里叶级数也可写成复指数形式。利用欧拉（Euler）公式

式中，，式（1.29）可改写为

令　　　　　　　　c0＝a0

则

或(www.daowen.com)

式中

一般情况下，系数cn是一个以谐波次数n为自变量的复值函数，它包含了第n次谐波的振幅和相位信息，即

式中

cn与c－n共轭，即

把周期函数x（t）展开为傅里叶级数的复指数函数形式后，可分别以|cn|－ω和φn－ω作幅值谱图和相位谱图；也可分别以cn的实部和虚部与频率的关系，即cnR－ω和cnI－ω，作幅值谱图，分别称为实频谱图和虚频谱图。

傅里叶级数复指数展开式与三角函数展开式相比主要的区别在于，复指数函数形式的频谱为双边幅值谱（ω从－∞到＋∞），三角函数形式的频谱为单边幅值谱（ω从0到＋∞）；这两种频谱各次谐波在量值上有确定的关系，即c0＝a0，。双边幅值谱为偶函数，双边相位谱为奇函数。

负频率是与负指数相关联的，是数学运算的结果，并无确切的物理含义，在工程实际中是不存在的。

例1.1　求如图1.14所示周期性三角波的傅里叶级数表示。

图1.14　周期三角波

解　x（t）在一个周期内的数学表达式为

常值分量

余弦分量的幅值

正弦分量的幅值

这样，该周期性三角波的傅里叶级数展开式为

周期性三角波的频谱图如图1.15所示。其幅值谱只包含常值分量、基波和奇次谐波的频率分量，谐波的幅值以的规律收敛。在其相位谱中，基波和各次谐波的初相位φn均为零。

图1.15　周期三角波的频谱

例1.2　画出余弦、正弦信号的实频谱图和虚频谱图。

解　根据式（1.39）和式（1.40）得

故余弦信号只有实频谱，与纵轴偶对称。正弦函数只有虚频谱图，与纵轴奇对称。图1.16是这两个函数的频谱图。

图1.16　余弦函数和正弦函数的频谱

从上例还可得到以下推论：一般周期实函数按傅里叶级数的复指数展开后，其实频谱（对应三角函数展开中的余弦分量）总是偶对称的，其虚频谱（对应三角函数展开中的正弦分量）总是奇对称的。更进一步，若周期实函数为实偶函数，则其傅里叶级数的复指数展开将只有偶对称的实部，若周期函数为实奇函数，则其傅里叶级数的复指数展开将只有奇对称的虚部。

（3）周期信号频谱的特点

周期信号的频谱具有以下特点：

①周期信号的频谱是离散的。

②每条谱线只出现在基波频率的整倍数上，基波频率是各高次谐波分量频率的公约数。

③各频率分量的谱线高度表示该次谐波的幅值和相位角。谱线的高度也代表了该次谐波的能量大小。工程中常见的周期信号，其谐波分量的幅值总的趋势是随谐波次数的增高而减小。因此，在频谱分析中可根据精度的需要决定所计算谐波的次数，没有必要取那些次数过高的谐波分量。