（1）单位冲激信号（δ函数）

1）δ函数的定义

自然界中常有这样的现象，某个动作只发生在一个很短的瞬间，而在其他时刻没有任何动作。例如，闪电在很短的时间内有很大的能量释放；又如，锤击在很短的时间有一个很强的冲击力。为了描述这种现象，把该现象抽象化，引入单位冲激信号的概念。单位冲击信号的“狄拉克（Dirac）定义法”为

把满足式（1.7）的信号δ（t）称为单位冲激信号，其冲激强度为1。单位冲激信号也可利用规则信号（如对称矩形脉冲或三角脉冲信号等）“在保证面积不变的前提下使宽度取极限0”的逼近方法来定义，如图1.7（a）所示的一个矩形脉冲Sε（t），其面积为1。保持矩形脉冲Sε（t）的面积为1，当ε→0时，Sε（t）的极限就称为δ函数，如图1.7（b）所示。δ函数也称为单位脉冲函数。

从极限的角度看

从面积（通常也称为δ函数的强度）的角度来看

如果将δ（t）出现的时间沿时间轴右移时间t0，得到δ（t－t0）（见图1.8），则

图1.7　矩形脉冲与δ函数

图1.8　有时延的δ函数

2）δ函数的性质

δ函数是信号分析中经常会用到的函数，它有一些特殊的性质，利用这些性质可使被分析的问题大大简化。δ函数的性质如下：

①对称性（偶函数）(www.daowen.com)

单位冲激函数是偶函数，因为对任意非零的t，δ（t）＝0＝δ（－t）。

②时域压扩性

单位冲激函数的时域压扩性（或尺度变换性）用数学表达式表示就是

该性质表明：把单位冲激信号以原点为基准压缩到原来的或扩展到原来的倍（0＜|a|＜1），相当于把单位冲激信号的强度乘以。

③采样特性（筛选特性）

根据“函数相乘定义为函数的逐点相乘”，很容易得到

再利用式（1.7），得出

这就是单位冲激信号的“采样（筛选）特性”，即单位冲激信号与某个函数相乘后的积分，等于该函数在发生冲激信号时刻的函数值。δ（t）函数的采样特性是模拟信号离散化的理论基础，用一系列等幅的不同时刻出现的δ（t）函数乘以模拟信号就可使模拟信号离散化，实现采样。

（2）sin c（t）函数

sin c（t）函数又称为闸门函数、滤波函数或内插函数，其定义为

如图1.9所示，它是一个偶函数，在t的正、负方向幅值逐渐衰减，当t＝±π，±2π，…，±nπ时，函数为零；t＝0时，函数为1。

图1.9　sin c（t）函数

sin c（t）函数之所以称为闸门（或抽样）函数，是因为矩形脉冲的频谱为sin c（t）型函数；之所以称为滤波函数，是因为任意信号与sin c（t）型函数进行时域卷积时，实现低通滤波；之所以称为内插函数，是因为采样信号复原时，在时域由许多sin c（t）函数叠加而成，构成非采样点的波形。