（1）宏观不稳定性频率

流体混合是分子扩散、涡流扩散以及主体对流扩散共同作用来实现的。理想混合过程应当是循环流动形态单一或流动形态关于搅拌轴对称从而实现从釜底到自由液面的全场循环流动形态使物料得以充分混合的过程。事实上，由于混合机理的复杂性，带挡板搅拌槽内的流体流动呈现为一个三维高度湍流带有典型准周期性的流体力学系统。该系统由一系列在时空尺度上跨越数个数量级的程度不同的非稳态行为（旋涡、涡流）组成。正是由于搅拌槽内的非稳态流体流动，即使在定常（流体物性及叶轮转速保持不变）的操作条件下，槽内流体仍在相当大的时间和空间尺度上存在着流动形态的明显变化。已经被证实了发生在多种桨型的搅拌桨作用下，带挡板的立式圆筒形搅拌槽内流体流动存在低频非稳态准周期现象，并将这种现象称为流场的“宏观不稳定性”。首次报道这种低频率、大尺度流场脉动现象的是日本学者Winardi 和Nagase。

有研究表明，在带45°斜叶桨的搅拌槽内也观察到，主循环的流型并不稳定，同时在槽的底部发现次循环流，宏观不稳定现象在近叶轮区的流体速度场的功率谱图中表现为一个低频的显著峰值。研究人员用DPIV Digital Particle Image Velocimetry 技术在桨叶直径与槽体直径之比D/T=0.5 的标准涡轮桨的搅拌研究中发现，低转速时（30 r/min），搅拌槽内存在明显的宏观不稳定现象，转速为30～60 r/min时，MI 现象依然明显。随着转速的提高（120～180 r/min），搅拌槽内脉动随机性增强，MI 相对减弱。刘作华等在空气射流对宏观不稳定性影响的研究中，也得到了低转速下宏观不稳定性频率与转速的线性比例关系，但高转速下宏观不稳定性频率消失，出现谱带现象；空气射流的加入，引入第二相使得系统在低转速下宏观不稳定性频率提前消失。

综上所述，搅拌槽内存在宏观不稳定现象已经是不可争议的事实，而且它在时空间尺度上都远远超过了湍流涡。搅拌槽内流场这种宏观不稳定性本质上是一种时均速度场中的非稳态变化。这种变化规律不同于以往的时均流场特性研究。目前关于槽内不稳定脉动的研究多建立在实验基础上，研究结果均显示多种结构的搅拌槽内流场流动存在这种大尺度低频的宏观不稳定现象。

（2）分形维数

分形（fractal）一词最早在1975 年，由美籍法国数学家曼德布罗特（Mandelbrot B.）提出。分形是一种可以用于描绘和计算粗糙、破碎或不规则客体性质的新方法，是一类无规则、混乱而复杂，但其局部与整体有相似性的体系。它的两个重要特征就是自相似性和标度不变性，分形体系的形成过程具有不确定性，其维数可以不是整数而是分数。它的外表特征一般是极易破碎、无规则和复杂的，而其内部特征则是具有自相似性和自仿射性。自相似性是分形理论的核心，它是指局部的形态和整体的形态具有某种相似，即把考察对象的部分沿各个方向以相同比例进行放大后，其形态与整体相同或相似。自仿射性是指分形的局部与整体虽然不同，但经过拉伸、压缩等操作后，两者不仅相似，而且还可以重叠。具有自相似性的结构（或图形）一定满足标度不变性。组成部分以某种方式与整体相似的形称为分形。

混沌理论中的分形维数是定量刻画混沌吸引子的一个重要参数，广泛应用于系统非线性行为的定量描述中。计算分形维数的方法主要有圆规法、明科斯基方法、变换方法、盒子计算方法、周长-面积法、裂缝岛屿方法及分形布朗模型法等。关联维数是分形维数的一种，由于比盒子维数、信息维数和容积维数等计算简单，因此应用非常广泛。

（3）最大Lyapunov 指数

自组织现象产生于耗散非线性动力学系统之中，其有效自由度数少于系统实际自由度数，系统的状态被吸引到相空间中一个低维的超曲面上，曲面的维数反映了自组织系统的有效自由度数，一个表面上复杂的运动实际上可能仅是混沌态的低维运动。而本质随机行为，有效自由度数较高，没有自组织现象。区分低维的不规则行为和本质随机行为，度量其不规则性的复杂程度，是定量研究混沌的重要问题。Lyapunov 指数就是定量描述混沌吸引子的重要指标。

系统是否存在动力学混沌，可以从最大Lyapunov 指数是否大于零非常直观地判断出来：一个正的Lyapunov 指数，意味着在系统相空间中，无论初始两条轨线的间距多么小，其差别都会随着时间的演化而呈指数率的增加以致达到无法预测，这就是混沌现象。

Lyapunov 指数对应混沌系统的初始值敏感性，它与吸引子至少有以下关系：

①任何吸引子，无论是否为奇怪吸引子，都至少有一个Lyapunov 指数是负的，否则轨线就不可能收缩为吸引子。(www.daowen.com)

②稳定定态周期运动以及准周期运动都不可能有正的Lyapunov 指数。稳定定态的Lyapunov 都是负的；周期运动的最大Lyapunov 等于0，其余的Lyapunov 都是负的。

③任何混沌运动都至少有一个正的Lyapunov 指数，如果经过计算得知系统至少有一个正的Lyapunov 指数，则可肯定系统作混沌运动。

Lyapunov 指数的计算方法可分为两类：如果知道系统的动力学方程，则可以根据定义计算；如果不知道系统的动力学方程，则只有通过观测时间序列来估计。目前在工程上，由观测时间序列来计算Lyapunov 指数的方法主要有以下两种：

①分析法：该方法通常先进行相空间重构，求系统状态方程的雅可比矩阵，然后对雅可比矩阵进行特征值分解或奇异值分解求取系统的Lyapunov 指数，但该方法对噪声非常敏感。

②轨道跟踪法：该方法以Wolf 和Rosentein 的小数据法为代表，对系统两条或更多条的轨道进行跟踪，获得它们的演变规律以提取Lyapunov 指数。该方法的优点是计算结果不易受拓扑复杂性（如Lorenz 吸引子）的影响。

（4）Kolmogorov 熵

熵是系统混沌性质的一种度量，而Kolmogorov 熵是常用熵中的一种，它是在热力学熵和信息熵的基础上演化而来的，它反映了动力系统的运动性质和状态，是在相空间中刻画混沌运动最重要的度量，可根据K 熵取值判断系统运动的性质或无规则（随机性）的程度。K =0，表示系统作完全规则（决定性）的运动；K→∞，表示系统作完全无规则的随机运动；K 为大于零的常数，表示系统作具有部分（或受约束的）随机性的混沌运动。Kolmogorov 熵越大，信息的损失率越大，系统的混沌程度就越复杂。K 熵可区分规则运动、随机运动和混沌运动。

（5）多尺度熵

克劳修斯提出熵的概念，用来表示任何一种能量在空间中分布的均匀程度，能量分布得越均匀，熵就越大。实践表明，要使一个系统以做功的形式向外输出能量，该系统必须与外界存在能量密度差异，只有这样，能量才会自动地从能量的高密度区流向低密度区。在搅拌槽中，能量的高密度区是位于桨叶附近的湍流区，能量从湍流区向低雷诺数区耗散得越充分，整个槽体内能量分布就更为均匀，熵值就越大；反之，熵值就越小。若能量分布完全均匀，熵值达到最大。从能量储存的角度（或从宏观上）看，熵是系统能量密度分布均匀程度的量度。目前，关于搅拌槽内的热力学熵的计算较为困难。Shannon 借鉴热力学熵的概念，把信息中排除了冗余后的平均信息量称为信息熵。热力学熵与信息熵密切相关。在各微观状态相互独立且等概率的假设下，系统的信息熵与热力学熵的关系为

式中，S 为系统的热力学熵；S′为信息熵；κ 为玻尔兹曼常数，即系统的热力学熵与信息熵成正比关系。这里的信息熵采用Costa 等提出的多尺度熵。在多尺度熵提出之前，时间序列信息熵的测度主要有近似熵算法和样本熵算法。近似熵作为时间序列复杂性的测度，在许多领域得到广泛应用。但是，近似熵不利于数据量小且含有噪声的信号的分析。Costa 等对近似熵进行了改进，提出样本熵（Sample Entropy，SampEn）。上述关于时间序列熵的计算是基于单尺度，无法说明时间序列在尺度上的相关性。Costa 等在样本熵的基础上提出多尺度熵（Multiscale entroPy，MSE），并将其用于分析生理信号的复杂性。多尺度熵计算了时间序列在多个尺度上的样本熵值，体现了时间序列在不同尺度上的不规则程度，具有较好的抗噪、抗干扰能力，对时间序列的分析更具系统性。熵值在各尺度上越大，时间序列的自相似性就越小，系统的混乱程度就越高。