对于非线性反馈跟踪控制算子的设计，我们从上一小节已经知道，最后的问题是设计的跟踪算子C满足min‖（I+NC）-1‖Lip，由于算子的逆很难得到，但是范数的逆却很容易得到，文章考虑将求算子逆的范数转化成求算子范数的逆的方法设计跟踪算子[10]。首先我们来介绍几个相关的定义和定理[11]。

定义13：设广义Lipschitz算子P∈Lip（U, Y），那么我们定义算子P的i范数

由算子的半范数和算子的Lipschitz范数的定义，我们已经知道，对于算子P∈Lip（U, Y），

比较可知，算子的Lipschitz范数和i范数的区别就在一个是求半范数的上确界，一个是求其下确界。

定义14：如果算子P∈Lip（U, Y），并且‖P‖i＞0，H（S）=Y，那么我们就说算子P是可逆的。

定理1：设S∈Lip（U, Y），那么我们可以得到如下两个等效的条件：

（1）算子S是可逆的；

（2）存在一个算子R∈Lip（Y, U），使SR=IY, RS=IU。

证明：（1）→（2）。假设算子S是可逆的，令R=S-1，那么对于任意y1，y2∈Y，有

所以R∈Lip（Y, U），并且（2）→（1）。如果条件（2）满足，假设对任意x1，x2∈U，有

所以当x1≠x2时，有

因此，由定义14可知，算子S是可逆的。

证明结束。

由上面的证明我们可知：

（1）→（2）可以得到（2）→（1）可以得到所以由此我们可以得到下面的推论1。

推论1：如果S∈Lip（U, Y），是可逆的，那么S-1∈Lip（Y, U），并且‖S-1‖=‖S‖-1i，‖S-1‖i=‖S‖-1。

对于非线性系统中的跟踪算子C和右分解的算子N都是稳定可逆的算子，那么算子（I+NC）也是稳定可逆的算子。由上面的推论1我们可以以此推出：(www.daowen.com)

所以上一章我们的优化跟踪问题求min‖（I+NC）-1‖Lip可变成求其中：

而且原来优化问题的约束条件也没有改变，所以该方法不仅可以避免求算子的逆，也解决了之前算法中局部最优的问题。

对于跟踪算子C的设计我们由泰勒级数的思想可以设计为：

由约束条件‖NC‖＜1可设计相应的算子C0，C1，C2……，Cn，珀尔贴制冷系统，本文设计的跟踪算子C为：

由此可以得到：

从中我们可以看出参数C0的值不在目标函数和约束条件中，对于C0的求法和上一章中a0的求法一样，在时间趋近于无穷大时，系统达到稳定，误差信号趋近于0，从而我们可以得到参数C0的值为H·r0，对于参数C1，b可以用上一节具有约束条件的粒子群优化方法来得到，如图4-14所示非线性反馈控制系统的粒子群优化跟踪控制图[12]。

图4-14　非线性反馈控制系统的粒子群优化跟踪控制

此时的目标函数是：

约束条件是：

因为算子的范数是一个数值，那么范数的逆也就是该数值的倒数，所以上面的目标函数和约束条件可以转变成如下的形式：

目标函数：

约束条件：

此时我们可以用上一小节中同样的参数优化方法，利用罚函数法将第一个约束条件加入到目标函数中，那么第二个约束条件在粒子群优化算法中的搜索空间中进行限定，那么此时的优化问题就转变成求：

即

其中C2为惩罚系数，其值为0.26[11]。在粒子群优化算法中，粒子数为100，空间维数为2，学习因子c1=c2=2，惯性权重w是线性递减的，最大值wmax=0.9，最小值wmin=0.4，最大迭代次数为100，最大速度为1，搜索范围为[0.00001，40]。由于算子的i范数是和时间有关的量，所以为了使目标函数的值最小，我们令每一时刻的函数值都最小，最后可以得到每一时刻对应的参数值和目标函数值，详见下一节仿真结果图。