本章的控制对象采用图3-12所示的热过程，但对铝板热过程建模时，考虑铝板辐射对其热量平衡的影响，模型建立如下[8]。

其中，T0为铝板的初始温度，Tx为传感器的温度。式（3-45）的模型各部分的含义与第3章的模型相同，详细见3.3节。但是模型最后一部分εσ（4S1+2S2+4S3+2S4+2S5-S）（T40-T40）表示的是铝板热辐射的能量。

由于在给铝板热过程建模时，考虑了辐射对热量平衡的影响，又因为辐射部分包含了温度的4次方，使得式（3-44）用一般的微分方程求解的方法不能求解，所以提出用SVM的方法来预测铝板热辐射部分的热量[7]。本书中，为了计算的简便，我们将模型对象近似看作是一个黑体。

首先令式（3-44）中

式（3-44）化简成如下形式

其中，MSVM表示辐射部分的热量。本章用SVM的方法来建立MSVM的模型，（文章后面出现的MSVM也表示用SVM方法建立的MSVM模型），用来预测辐射部分的热量。其实就是一个非线性的回归问题，而回归问题就是通过样本的数据寻找一个回归函数f，使得这个函数对于样本之外的x可以通过函数f来找到对应的y。因此，引入非线性映射ϕ（·），将x从原输入空间映射到高维特征空间里，这样就可以将原输入空间复杂的非线性回归问题简化为高维特征空间中的线性拟合问题，且在这个高维特征空间进行线性逼近函数f，而且在非线性的SVM求解时不需要去了解映射ϕ（·）的具体形式[12]。这个函数具有如下的形式：

该模型的建立是依据有限个独立和分布式数据集其中，xi为输入，yi为输出，w为权向量，b为补偿。本章在建立MSVM模型时，输入是ud和Tx，输出就是MSVM, w和b是由训练得到的数据。Vapnik的ε-不灵敏度支持向量回归的目的就是寻找一个函数，允许i的误差不超过参数，是所有的训练数据都在i的平面上。为了考虑更多的干扰误差，引入非负的松弛变量ξ和ξ∗。根据统计学习理论，式（3-44）的回归问题就转化为一个具有不等式约束的二次规划问题来描述[12]，与分类的二次规划问题相似，(www.daowen.com)

约束条件为：

其中C为惩罚因子，且C＞0；ε为需要近似的精度。利用对偶原理，式（3-47）的优化求解可以转化为如下Lagrange对偶问题求解：

约束条件为：

最后，非线性函数回归的结果为：

式中，为核函数。线性核函数可以看成是一种特殊形式的径向基函数，而sigmoid核函数从某种程度上来说其特征与径向基函数相似。在径向基函数下，支持向量机算法能自动的确定中心、权值和阀值，所以在SVM算法里，我们选择径向基核函数，一些支持向量机算法的参数也可以自动确定，如权向量w，补偿b，松弛变量ξ和ξ∗和拉格朗日乘子αi和αi∗。所以，支持向量机估测的准确性就在于参数C，ε和σ的设定，其中C是惩罚因子，它决定了模型的复杂性，ε是误差精度参数，它控制了拟合训练数据的ε不灵敏区域的宽度，σ为函数的宽度参数，它控制了函数的径向作用范围。因此，MSVM部分的SVM预测模型可以通过选择合适的参数C，ε和σ得到，即辐射部分的预测模型MSVM可以建立起来。