目前，基于算子理论的右互质分解技术已经被证明非常适合非线性系统的分析和综合，且不受输入信号形式的影响[6，7]。下面给出右互质分解的相关定义。

定义8：反馈控制系统的适定性

对于一个反馈控制系统，如果组成系统的每个环节都是因果的，而且对给定的输入，系统内部的每个信号都是唯一被确定的，那么就称这个系统是适定的。

定义9：算子的右分解

如果存在两个因果稳定的算子N：W→Y, D：W→U, D在U上是的可逆的，并且能使得：

那么称P存在右分解。如果N和D都是f.g.稳定的，那么称P存在f.g.稳定的右分解。如图2-2所示[4]。

图2-2　算子P的右分解

右分解的实例：这里A、c、m是系统参数。

取算子：

是线性放大器，故算子D是稳定的且在U上可逆，其逆算子D-1，U→W为：

取算子N, W→Y为：

有可见算子N：W→Y是稳定的。

不难验证，对任一输入信号函数u∈U，有：

即有P=ND-1。

定义10：算子的右互质分解。

如果P存在右分解P=ND-1，且N和D在W上没有伪状态，则称P存在右互质分解。

所谓W上的伪状态w，是指w∈W-Ws，使得N（w）∈Ys，且D（w）∈Us。如图2-3所示[5]。

图2-3　算子分解的伪状态(www.daowen.com)

另外，设N和D是P的f.g.稳定的右分解。如果D（Ws）=D0（P），且存在α＞0，使得：

则称这个f.g.稳定的右分解是互质的。

本文在对系统进行右互质分解时，用到的是基于Bezout的方法，有关Bezout方法下非线性算子的右互质分解，考虑图2-4所示的反馈系统，有以下结论[6]。

图2-4　非线性反馈控制系统

如果图2-4所示的反馈系统是适定的，那么我们定义一隐算子（幺模）：U→W且满足z=u。这个算子能很好地被定义，尽管我们不知道其此时确切的规则（形式）。这个算子即将扮演很重要的角色，其被用来表示系统右互质分解的性质和研究右互质分解的鲁棒性。

令P存在右分解P=ND-1，如果存在两个稳定的算子S：Y→U, R：U→U，且R可逆，满足Bezout等式：

那么称P的右分解是右互质分解。

通常，P是不稳定的，（N, D，S, R）为待设计的（被称为系统的设计问题）。

值得注意的是，需要考虑系统的初始稳定，也就是说系统需要满足：

有些文献中，研究人员简捷的选择W=U，这样选择后，幺模算子M=I, I为单位算子。

定义11：设图2-4中的控制系统是适定的，如果系统有右分解P=ND-1，那么系统是全局稳定的，当且仅当算子是幺模（阵）算子。

定义11表示如果系统P存在右分解P=ND-1，且N和D满足Bezout等式SN+RD=M, M为幺模算子，那么该系统是全局稳定的。

然而，在满足Bezout等式（2-20）后，可以得到图2-5所示的等效系统图。输出和参考输入关系可以表示成如下的式子：

图2-5　图2-4控制系统的等效系统图

如果输出空间和参考输入空间相同，即：

那么系统的输出就能跟踪上输入信号。由于用此方法设计的控制器S和R，既满足互质分解，也能保证系统的输出信号跟踪性能，简单的称条件（2-23）为一般条件[7]。