通常一个非线性系统可以描述成如下的微分方程[2]：

式中：x——状态向量，x∈Rn；

y——输出向量，y∈Rq；

值得指出的是系统的状态方程一般指式-中的式

f（·）与h（·）——向量函数。而式y（t）=h（x, u，t）通常称为系统的输出方程。但需要注意的是，这里的输出y有时并不是仅仅指整个系统的实际输出信号经常还包括了我们所关心的那部分状态的测量信号需要指出的是，对式（1-1）中描述的非线性系统S，我们总是假设系统的状态向量x（t）可以由初值x0与输入函数u（t）唯一的确定。另外，我们设输入函数u（t）在任何有限的时间区间内都是有界的。实际上，在任何控制设计中几乎都会这么要求。在反馈控制设计中，输入函数u（t）可能是状态向量x（t）的函数[3]。

非线性系统有很多种描述方法，有时可以依据不同的研究利用不同的描述方法来表示。如图1-2所示，有时我们直接用y=Su这样的算子描述来简单的表达这一系统，用来直接讨论该系统的输入输出特性。但是要注意的是，这时系统内部的初始状态x0=x（0）并没有显示出来，然而在分析过程中，我们却往往不能够忽略这种初始条件。我们都知道，对线性系统来说，除状态空间描述外，利用微分方程对输入输出进行描述也是一种常用的方法。对于单输入单输出（SISO）非线性系统，类似的描述也是值得我们注意的：

图1-2　系统（1-1）的输入输出表示

其中，

这里（·）i指i阶导数，[·]T表示转置。

对式（1-2）所表示的系统，一般作如下假设：

（1）函数ϕ（·）∈C1；

（2）满足正则条件：

显然，式（1-2）可以退化为如下线性系统：(www.daowen.com)

通常式（1-2）所示的描述方法称为微分输入输出描述[1]。

我们知道，对线性系统，状态空间描述和输入输出描述在一定的条件下可以相互转换。对于非线性系统，有时也有相类似的转化。例如对SISO系统（1-2），如果定义：

并在系统的输入端进一步推广m个积分器，定义积分器状态：

则系统（1-1）可以转化为：

显然这就成为了系统（1-1）的特殊形式。

对于常见的非线性系统，其形式通常可以用式（1-1）来表示。如果系统（1-1）表示时不变系统时，那么式（1-1）中的f（·）将不显示时间t，这时系统变为：

系统（1-3）表示了非常广泛的一类非线性系统，它包括了下面几种常见的特殊形式[1]：

（1）仿射非线性系统。

（2）Lurie系统。

（3）静态非线性系统。

（4）线性系统。

可以看出，式（1-4）仿射非线性系统中的状态方程和输出方程，关于输入信号u是线性的，但对状态是非线性的。其实线性系统本身就是仿射非线性系统的特殊情况。在式（1-6）静态非线性系统中，输出直接是输入信号的某个函数，没有内部状态。Lurie系统（1-5）是一类广为讨论的带有非线性控制的系统，可以被看成是线性单变量系统和静态非线性系统的串连连接[2]。一般地，在实际操作或计算时，非线性系统的模型通常是由非线性差分方程或非线性微分方程来给出，而在对此类模型进行辨别时，常常采用线性化，将它们展开成特殊的函数等方法。