1.命题及其表示法

命题指具有确定真假值的陈述句。命题的“值”称为真值。真值只有“真”和“假”两种，记作Ture（真）和False（假），分别用符号T和F表示。

看下列句子：

（1）中国人民是伟大的。

（2）雪是黑的。

（3）1+101=110

（4）别的星球上有生物。

（5）全体立正！

（6）明天是否开大会？

（7）天气多好啊！

（8）我正在说谎。

（9）我学英语，或者学日语。

（10）如果天气好，那么我去散步。

上述句子中（1）、（2）、（3）、（4）、（9）、（10）是命题，（8）是悖论，（5）、（6）、（7）不是陈述句，因此不是命题。

一般用大写字母A、B、C、D、…或带下标的大写字母或数字表示命题。表示命题的符号称为命题标识符。一个命题标识符如表示确定的命题，就称为命题常量。如果命题标识符只表示任意命题的位置标志，就称为命题变元。

注意：因为命题变元可以表示任意命题，所以它不能确定真值，故命题变元不是命题。当命题变元P用一个特定命题取代时，P才能确定真值，这时也称对P进行真值指派。

2.联结词

1）否定

设P为一命题，P的否定是一个新命题，记作¬P。若P为真，¬P为假；若P为假，¬P为真。

［例］

P：上海是一个大城市。

¬P：上海不是一个大城市。

2）合取

两个命题P和Q的合取是一个复合命题，记作P∧Q。当且仅当P、Q同时为T时，P∧Q为T，在其他情况下，P∧Q的真值都是F。

［例1］

P：今天下雨。

Q：明天下雨。

上述命题的合取为：

P∧Q：今天下雨而且明天下雨。或表述为：今天与明天都下雨。

［例2］

P：我们去看电影。

Q：房间里有10张桌子。

P∧Q：我们去看电影与房间里有10张桌子。

3）析取

两个命题P和Q的析取是一个复合命题，记作P∨Q。当且仅当P、Q同时为F时，P∨Q为F，在其他情况下，P∨Q的真值都是T。

注意：析取指的是“可兼或”。

［例1］　今天晚上我在家看电视或去剧场看戏。

［例2］　他可能是100米或400米赛跑的冠军。

［例3］　他昨天做了20或30道题。

上面3个例子中只有例2可用析取来表示。例1中的“或”是排斥或，不能用析取表示，而例3中的“或”表示近似数，因此也不能用析取表示。

4）条件

给定两个命题P和Q，其条件命题是一个复合命题，记作P→Q，读作“如果P，那么Q”或“若P则Q”。当且仅当P的真值为T，Q的真值时为F时，P→Q的真值为F，否则，P→Q的真值为T。P称为前件，Q称为后件。

在自然语言中，“如果”与“那么”之间常常是有因果关系的，否则就没有意义，但对条件命题P→Q来说，只要P、Q能够分别确定真值，P→Q即成为命题。

自然语言中对“如……，则……”这样的语句，当前提为假时，结论不管真假，这个语句的意义往往无法判断。而在条件命题中，规定为“善意的推定”，即前提为F时，条件命题的值都取为T。

［例1］　如果某动物为哺乳动物，则它必是胎生。(www.daowen.com)

［例2］　如果我得到这本小说，那么我今晚就读完它。

［例3］　如果雪是黑的，那么太阳从西方出来。

上面三个例子中的句子均可用条件命题来表示。

5）双条件

给定两个命题P和Q，其复合命题P⇔Q称作双条件命题，读作“P当且仅当Q”。当P和Q的真值相同时，P⇔Q的真值为T，否则P⇔Q的真值为F。

［例1］　两个三角形全等，当且仅当它们的三组对应边相等。

［例2］　燕子飞回南方，春天来了。

［例3］　2+2=4当且仅当雪是白的。

上面三个例子中的句子均可用双条件命题来表示。

3.命题公式与翻译

命题演算的合式公式，规定为：

（1）单个命题变元本身是一个合式公式。

（2）如果P是合式公式，那么¬P是合式公式。

（3）如果P和Q是合式公式，那么（P∧Q），（P∨Q），（P→Q），（P↔Q）都是合式公式。

（4）当且仅当能够有限次地应用（1）（2）（3），所得到的包含命题变元、连接词和括号的符号串是合式公式。

4.命题的解释

命题的解释如图2-33、图2-34所示。

图2-33　真值表1

图2-34　真值表2

基本恒等式：

（1）¬（¬P）=P

（2）（P∨Q）=（¬P→Q）

（3）德·摩根律：¬（P∨Q）=（¬P∧¬Q）

¬（P∧Q）=（¬P∨¬Q）

（4）分配律：P∨（Q∧R）=（P∨Q）∧（P∨R）

P∧（Q∨R）=（P∧Q）∨（P∧R）

（5）交律律：（P∧Q）=（Q∧P）

（P∨Q）=（Q∨P）

（6）结合律：（（P∧Q）∧R）=（P∧（Q∧R））

（（P∨Q）∨R）=（P∨（Q∨R））

（7）置换律：（P→Q）=（¬Q→¬P）

［例1］　我们要做到身体好、学习好、工作好，为祖国建设而奋斗。

A：我们要做到身体好。

B：我们要做到学习好。

C：我们要做到工作好。

D：我们要为祖国建设奋斗。

命题可形式化为（A∧B∧C）↔P

［例2］　他既聪明又用功。

P：他聪明。　Q：他用功。

则命题可表示为P∧Q。

［例3］　除非你努力，否则你将失败。

P：你努力　Q：你失败

命题表示为：¬P→Q。