伪随机码可以记为

式中，ΔT为伪随机码序列码元宽度，k为码元序号，K为伪随机码码元总数，p（k）为伪随机数，取值为1或-1。

伪随机码的自相关特性可表示为

当ΔT趋近于0时，上式接近δ函数。

伪随机码的互相关特性可表示为

式中，P1和P2为两个独立的伪随机码序列。

实现伪随机码的光学相位调制可表示为

伪随机相位编码侧视SAIL工作原理如图4-1所示。

图4-1　伪随机相位编码侧视合成孔径激光成像雷达

在光学发射系统中，连续激光源产生的激光通过电光振幅调制器和电光相位调制器产生伪随机相位编码激光，调制脉冲激光经放大器和分束器使绝大部分能量通过发射望远镜射向目标，照射光斑由望远镜主镜的衍射极限产生，其中分束器产生的极小部分能量作为外差探测和监视通道的本振光束。通过接收光学望远镜接收的目标回波光束和本振光束输入π／2桥接光学外差探测器以进行光学复数化，然后进入模数变换复数化处理。调制脉冲激光放大器输出的另一束光通过光学延迟线进入复数化监视通道，复数化监视器用于获得伪随机相位编码调制SAIL的参考信号。回波复信号和经过延时的参考复信号可以通过匹配滤波得到交轨向聚焦成像，然后还可以通过匹配滤波实现顺轨向聚焦成像，最终得到目标的二维输出图像。

主振激光器为连续激光器，因此第n周期时的输出为

式中，φn，0为第n个周期时的主振激光器初始相位，发射激光的标称频率为f0，δfn为第n个周期时的激光主振频率偏离值，tn，f为第n周期内的快时间。

回波探测器上的本振信号为

产生的监视探测器上的本振信号为

上述公式均假设本振延时为零。

发射激光采用伪随机相位编码调制，该伪随机相位编码调制的激光脉冲为g（tn，f：K，ΔT）。经过脉冲激光放大之后的交轨向快时间调制的发射信号为

式中，φn，amp为第n个周期时电光调制器和激光放大器引入的相位。

监视器采样信号取自激光放大器，经过延时时间为的光学延时线后其信号为

式中，φn，mlo为第n个周期时监视器光学延时线相位。

发射望远镜的矩形出瞳口径为，因此发射光场的复振幅为

式中，E0为发射光场的振幅，Ts为脉冲重复周期。

假设SAIL平台以速度vy沿着顺轨向运动，目标主平面上的复振幅衍射场为

式中，Ys=vyTs为SAIL平台的激光发射周期的移动间隔，τp=（Z+zp）／c为目标点发射光束的发射单程延时时间，Z为雷达至目标面光斑足趾中心距离，（xp，yp，zp）为目标点坐标。ηt代表发射光学系统的衰减，ηa表示激光在单程传输上的大气衰减，φn，t代表第n个周期时发射激光发射机的相位，为第n个周期时大气信道产生的单程附加相位。可以看出目标面上照明激光光斑的零值全宽度为

目标面上一个目标分辨单元其尺寸为lx×ly，中心坐标为（xp，yp），目标分辨单元本质上应当是漫反射物体，反射场的函数表达式为

式中，C为常数，Rsp（x，y）exp［jφsp（x，y）］为目标面的复反射率函数。当lx，ly→0时，上式可简化为

式（4-14）可进一步写为

式中，ηr代表激光回波在单程传输时包括所有的雷达机内和机外的总衰减，φn，r代表第n个周期时的光学接收机产生的相位。

接收望远镜的矩形入瞳口径为，因此望远镜的接收光场与式（4-16）相同。

令x′=x+ΔDx，y′=y+ΔDy-nYs，ΔDx和ΔDy为接收望远镜中心与发射望远镜中心的距离，式（4-16）可化为

式中，在原理上可以采用接收望远镜离焦方法消除［5］，因此接收光场可表示为

光电探测器上的本振光场场强为Elo，接收望远镜的放大率为Mr，本振光场在输入面上的等效光场即为

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回波信号和本振采用桥接器，I通道的平衡接收机输出的交流光电流信号为

其中二维面积积分涉及光学外差接收的方向性，可以得到

因此，有

同理，Q通道的平衡接收机输出的交流光电流为

令，信号通道的复数化交流光电流为

上式即为伪随机相位编码侧视SAIL的回波数据收集方程。

监视器采样信号取自激光放大器，经过光学延时时间为的光学延时线其信号为

监视探测器上的本振信号为

监视信号和监视本振采用桥接器进行I和Q双通道平衡接收，监视信号和监视本振通过桥接器输入连接，其输出的复数化交流光电流为

上式即为伪随机相位编码侧视SAIL的监视信号数据收集方程。

根据回波数据收集方程和监视信号数据收集方程，将收集得到的回波信号的二维数据首先在交轨向与监视器信号进行快时间上的复相关积分操作，实现交轨向聚焦，即

可见，激光放大器的相位起伏（φn，amp）自动消除了。

顺轨向聚焦采用匹配滤波函数进行匹配滤波实现，采用连续函数的卷积积分运算后再进行离散化的方法来处理离散二次项相位历程的匹配滤波，即先定义y=nYs=nvyTs。同时考虑理想状态下，由于φn，s涉及大气等外部相位干扰因素可以先忽略不计，同时先假定没有初始频率起伏，即δfn=δf，φn，t=φt，φn，r=φr，φn，a=φa和φn，mlo=φmlo不变。所以有

顺轨向匹配滤波后的二维聚焦输出图像为

上述积分为

式中，分辨率函数为

最终得到二维成像公式：

交轨向成像位置在z=2（zp+Z）-Zm上，分辨率函数为三角函数。顺轨向成像位置在上，分辨率函数也为三角函数，dy（y）的分析见前。

最简单且典型的设计参数为

这时，有

可见交轨向成像位置为

交轨向分辨率函数为三角函数，光振幅和强度的零值全宽度定义的交轨向

分辨率为

顺轨向成像位置为

顺轨向分辨率函数为三角函数，光振幅和强度的零值全宽度定义的顺轨向分辨率为

离散计算的场强成像输出可以表达为

根据采样定律，必须保证，因此，所有目标点的输出为