住房补贴是以每一目标个体为对象，显然可以考察目标个体在补贴中所获得的效用作为评价政策的标准。此时，评价标准包含着住房补贴可不用于改善住房居住水平。

1.住房补贴效率风险的界定

定义3.1：若政府给予目标对象住房实物补贴或货币补贴额度的价值均为ST（T为基期），在时点t，个体从住房补贴中所获得的福利分别为Ue（pt），Up（pt），福利与当期价格pt相关，也与基期价格pT变动为当期价格pt的可能性qt确定（外生确定）。假定个体在补贴中所获得的期望效用就是价值ST（即价格不随时间变动，单位货币效用为1），则不同住房补贴的效率损失风险为：

因此，不同补贴模式的效率风险比较可以转化为目标个体从补贴中所获效用之间的比较分析，即

2.住房补贴与目标个体最优抉择分析

为比较不同住房补贴模式对目标个体效用的影响，需考察没有补贴、实物配租补贴和货币补贴下目标个体所获得的具体效用函数及其变化。

（1）无政府干预下目标个体的最优抉择。设低收入行为人从住房消费h和非住房商品消费nh中获得效用，满足CD效用函数形式，可表示为U（h，nh）=A·ha·nh1-a，但不同商品消费量受其获得的收入限制，即约束条件为p·h+nh=y，其中非住房商品消费nh价格单位化1，p为住房消费与非住房商品价格比较的相对价格，y为低收入行为人相对于非住房商品价格的相对收入。此时，低收入行为人的两种商品的均衡消费量满足如下目标函数和约束条件：

建立拉格朗日函数有：

对应一阶条件为：

由一阶条件（3.6）～（3.8）可得均衡解为

（2）住房货币补贴下目标个体的最优抉择。依照基期T给予低收入行为人sT元货币补贴；在第t期，假定低收入人群收入与非住房商品的价格水平相对不变，但住房消费的相对价格水平（租价）发生改变为pt，则行为人的约束条件（3.4）重新整理为：

类似于（3.5）～（3.8），目标函数（3.3）在约束条件（3.10）下的均衡解为：

（3）住房实物配租下目标个体的最优抉择。为便于与货币补贴相比较，假定在基期T下，货币补贴总额与实物补贴总额相等。基期中，行为人决策行为满足如下条件（3.12），（3.13），使函数（3.3）最大化：

类似于（3.5）～（3.8），目标函数（3.3）在约束条件（3.12），（3.13）下的均衡解为：

则有：

式（3.15）表明，住房消费每单位补贴租价δT元，其所发生的费用与货币补贴费用等同。

再考察第t期实物补贴下行为人的最优决策。显然，此时行为人的收入约束条件满足：

类似于（3.5）～（3.8），目标函数（3.3）在约束条件（3.16）下的均衡解为：

此时，若第t期给予货币补贴份额为式（3.18），其补贴额与实物补贴对应份额等同。(www.daowen.com)

然而，政策决策往往存在一定的滞后，尤其在我国，租赁性保障住房政策仅处于逐步推进阶段，给予的各种住房补贴方式中，货币补贴的基准一般多年不会调整。假定第t期，仍然给予市场租价δT元的实物补贴，基期T下给予同等份额的货币补贴额度sT，即δT·h（3）=sT。现在分析住房消费价格水平（市场房租水平）相对变化到pt所带来的个人福利效应的变化。

3.不同住房补贴模式的效率风险比较

比较不同住房补贴模式的效率风险，必须考察基期下不同模式同等额度的住房补贴在第t期的各自实际的补贴额度。而为分析基于基期T同等份额的实物补贴与货币补贴在第t期所产生的个人福利效应变化，则需考察如下不同收入约束条件下的低收入行为人决策的均衡效用值。

先分析行为人目标函数为（3.3），在约束条件（3.19）下的决策。

决策均衡值为E（4）（h（4），nh（2））=（a·（y+st）/（pt-δT），（1-a）（y+st））；个人所获得的效用分别为U（4）。

令E（5）（h（5），nh（2））=（h（5），（1-a）（y+st）），且U（5）=U（3），其中U（5）为E（5）对应于个人所获得的效用量。则经过E（5）与约束条件（3.19）曲线平行的曲线方程为：

其中h（5）满足如下条件：

不难证明，E（5）为目标函数（3.3），在约束条件（3.20）下的最优决策。

同理，目标函数（3.3）在约束条件（3.22）下，

均衡解为E（6）（h（6），nh（1））=（a·（y+sT）/pt，（1-a）（y+sT）），对应行为人效用值为U（6）。因此，基于基期T同等份额的实物补贴与货币补贴在第t期下，个人福利效应的比较可转化为如下函数的零值求解问题：

令gt=（pt-pT）/pt，由（3.18），（3.23）整理有：

当t=T，或gt=0，则式（3.24）转化为

上式经济意义为，基期下行为人获得同等份额的实物补贴与货币补贴，两者的优劣可转化为个体所获得的个人效用之间的比较。不难证明，f（0）＞0，即在市场住房消费的相对价格水平不变时，行为人在货币补贴中所获得的效用大于从实物补贴中所获得的效应，即利用数学工具严格论证了“人头补贴”优于“砖头补贴”这一经典论断。

命题3.1：以个体福利为住房补贴模式的评价基准，在目标函数为（3.3）情况下，考基期T同等份额的实物补贴与货币补贴，在第t期所产生的个人福利效应变化，可得如下结论^[3]：

（1）当gt∈（0，gt*）时，有rp＜re，即货币补贴优于实物配租。

（2）当gt∈（gt*，+∞）时，有rp＞re，即实物配租优于货币补贴。