命题6-1的证明:
将零售商的反应函数F-(q 0)=w 0erfT代入供应商的目标函数式(6-4)中,得到:
对(q 0)关于q 0分别求一阶和二阶导数可得:
因此,最优的订货量为=qN,对应的最优批发价为
=
(qN)e-rfT。
接着,简化银行的收支平衡条件,即式(6-2),得到:
引理6-1的证明:
注意到y 1=(w 1q 1-b R)er1(L+T)<q 1,因此
min{S(q 1),(w 1q 1-b R)er1(L+T)}=min{X,y 1}
考虑到,因此式(6-8)显然成立。
命题6-2的证明:
首先,将式(6-9)代入式(6-10)中可得:
对(q 1)关于q 1分别求一阶和二阶导数可得:
其次,结合引理6-1可得:
推论6-1的证明:
当零售商在t∈(0,L)时刻预付款时,具体的决策时序变为:供应商在0时刻以贷款利率r S向银行融资生产成本;在t∈(0,L]时刻,零售商以贷款利率r t向银行融资并提前支付供应商的货款,供应商收到零售商的预付货款后偿还银行贷款;在L+T时刻销售结束,零售商偿还银行贷款。零售商的最优化问题为:
供应商的最优化问题为:
引理6-2的证明:
同引理6-1的证明,略。
命题6-3的证明:
对零售商的反应函数(q 2)=w 2
(Y 2)两边关于w 2求导可得:
这里Y 2=w 2q 2-b Rerf(L+T)。表达式(6-34)等价于:
即
进而可得:(www.daowen.com)
推论6-2的证明:
推论6-3的证明:
由推论6-2易得,略。
命题6-4的证明:
命题6-5的证明:
见正文,略。
引理6-3的证明:
对于约束条件式(6-21)中的(w 3q 3-b R)erf(L+T)=E{min[S(q 3)+T(X),(w 3q 3-b R)er3(L+T)]},其可简化为:
对式(6-38)关于q 3和w 3分别求导,得到:
以及
另一方面,零售商的期望利润表达式(6-20)等价于:
对(q 3)关于q 3求导并利用一阶必要条件可得:
对表达式(6-39)关于w 3求导可得:
g(y 3)w 3erf(L+T),因此V(q 3,y 3,δ,w 3)>0。考虑到:
命题6-6的证明:
根据式(6-28),对π3S(w 3)关于w 3求导可得:结合表达式(6-40),并利用一阶必要条件则有:
推论6-4的证明:
令δ=1,则对应的最优决策[(1),
(1)]由下列方程组确定:
根据表达式(6-17)并结合引理6-2,可得:
另外,根据表达式(6-28)得:
即
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