引理4-1的证明:
当零售商无资金约束时,其期望利润表达式可写为:
容易得到此种情况下零售商的最优订货量为=
-1(w)。对应地,零售商获得无资金约束下的最优订货量所需要的最低资金水平
=w
-1(w)。当零售商有资金约束,同时选择部分延期付款时,其期望利润表达式为:
这里y d=(wQd-B)(1+r d),给定贷款利率r d,对(Qd)关于Qd求导并利用一阶必要条件可得
(
)=w(1+r d)
(
)。特别地,当
=0,即对应的
=
-1[w(1+r d)]时,零售商仅使用自有资金无须延期付款,因此零售商选择延期付款模式所需的最高资金水平为
(r d)=w
-1[w(1+r d)]。当B<
(r d)时,
>0,零售商选择延期付款;当
(r d)≤B<
时,零售商仅使用自有资金进行订货;当B≥
时,零售商不受资金约束。
命题4-1的证明:
根据引理4-1,当零售商选择延期付款策略时,零售商的订货量满足:
考虑到y d=(wQd-B)(1+Qd),因此式(4-36)等价于:
对式(4-37)两边关于y d求导,经过整理我们有:
另一方面,供应商的目标函数可简化为:
对(y d)关于y d求导,得到:
进一步结合式(4-38)并利用一阶必要条件,我们可得y d与Qd满足下式:
考虑到(wQd-B)(Qd)=wy d
(y d),上式可简化为:
因此,在不考虑供应商的下侧风险约束下,供应商和零售商的最优决策由式(4-7)确定。然而,当零售商的融资规模受到供应商的下侧风险约束,即约束条件(4-6)是紧的,供应商的最优信贷规模必在边界线y d=α+F-1(β)上取得,从而基于引理4-1,此时零售商的最优订货量必满足(wQd-B)
(Qd)=w
(
)。注意到方程(wQd-B)
(Qd)=w
(
)有两个解,同时零售商没有动机订购过量的产品,否则订货成本将大大增加,因此最优的订货量为方程(wQd-B)
(Qd)=w
(
)较小的解。
引理4-2的证明:
首先,银行收支平衡约束条件式(4-1 6)等价于:
结合式(4-39)以及[u-v]+=u-min{u,v}对于任意的u,v∈R总成立,因此零售商的目标函数可简化为:
对(q 0)关于q 0求导,并利用一阶必要条件,可得无下侧风险约束下零售商的最优订货量为
=
-1(w);另一方面,考虑银行的下侧风险约束:
命题4-3的证明:(www.daowen.com)
引理4-3的证明:
基于保险公司的补偿原则R 1=[d 1-min(X,q 1)]+,因此可得:
银行融资与保险混合模型中银行的下侧风险约束等价于:
Pro{[y 1-R 1-min{X,q 1}]+≥α}
=Pro{[y 1-max{X,d 1}]+≥α}
=Pro{y 1-d 1≥α|X<d 1}F(d 1)+Pro{y 1-X≥α|X≥d 1}(d 1)
基于上式,容易得到当d 1<y 1-α时,Pro{[y 1-R 1-min{X,q 1}]+≥α}等价于F(d 1)+F(y 1-α)-F(d 1)=F(y 1-α);当y 1-α≤d 1≤y 1时,Pro{[y 1-R 1-min{X,q 1}]+≥α}=0。
命题4-4的证明:
(1)由引理4-3发现,如果零售商购买信用保险,则其投保水平满足d 1=y 1-α。由此,零售商的期望利润表达式可简化为:
根据式(4-20)和式(4-22),我们有:
注意到,F(x)dx以及min{X,y 1-R 1}=min{X,y 1},因此式(4-40)等价于:
对式(4-41)两端关于q 1求导,可得,进而得到
。另一方面,对
关于q 1求偏导,并利用一阶导数等于零的条件,容易得出:
(2)类似于命题4-3的证明,略。
(3)对式(4-41)和式(4-42)两端分别关于B求偏导,得到:
引理4-4与命题4-5的证明参见命题4-4的证明。
免责声明:以上内容源自网络,版权归原作者所有,如有侵犯您的原创版权请告知,我们将尽快删除相关内容。