对于供应商而言，需要确定最优的预付款比例δ，使得自身的期望收益达到最大。供应商在期末的利润可表示为：

显然，供应商的利润依赖于市场需求的实现值。当需求高于（1-δ）wq时，零售商能够偿还剩余货款，供应商的利润等于（w-c）q；而当需求低于（1-δ）wq时，供应商不能完全回收货款，因此供应商的利润等于δwq+X（γ）-cq。

考虑到式（3-21）等价于πS＝δwq+min{X（γ），（1-δ）wq}-cq。因此，供应商的最优化问题为：

命题3-7.给定市场规模n以及消费者的购买概率p，供应商设定的最优预付比例为：

显然，最优预付款比例δ∗依赖于市场规模n、消费者的购买概率p以及供应商的生产成本c。然而，我们很难从表达式（3-23）中看出这些关键参数对δ∗的影响。下面借助一个数值算例来分析关键参数的影响。(www.daowen.com)

算例3-3:假设供应商的单位生产成本c∈{0.2，0.3，0.4，0.5}，批发价w＝0.7，消费者购买产品的概率p∈{0.2，0.3，0.4，0.5}，市场规模n∈{100，200，300，400}，供应商设定的预付比例δ∈[0.04，1]，其中预付比例δ的变化步长为0.01。由于最优的预付比例δ∗即为使得供应商的期望利润E（πS）达到最大值的预付比例，因此在本算例中我们通过描绘E（πS）关于预付比例δ的变化图来确定最优的预付款比例δ∗。

图3-7（a）反映了不同生产成本下供应商的期望利润与预付比例之间的关系。总体看来，供应商的期望利润是预付比例δ的凹函数，因此总是存在唯一的预付比例δ∗使得供应商的期望利润达到最大。另外，供应商的期望利润关于其生产成本递减。值得注意的是，供应商的生产成本对最优预付比例δ∗的影响非常小，正如图3-7（a）所示，给定市场规模n＝300以及消费者购买概率p＝0.6，最优的预付比例δ∗＝0.42总成立。

图3-7（b）反映了不同市场规模下供应商的期望利润与预付比例之间的关系。可以发现，供应商的期望利润关于市场规模递增，但为预付比例的凹函数，因此存在唯一的预付比例δ∗使得供应商的期望利润达到最大。进一步地，我们发现市场规模对最优预付比例的影响非常小。类似图3-7（a），给定供应商的生产成本c＝0.2以及消费者的购买概率p＝0.6，最优的预付比例δ∗＝0.42总成立。

图3-7　不同条件下预付比例对供应商利润的影响

注：（a）不同生产成本下预付比例对供应商利润的影响；（b）不同市场规模下预付比例对供应商利润的影响；（c）不同产品购买概率下预付比例对供应商利润的影响。

图3-7（c）反映了不同购买概率下供应商的期望利润与预付比例之间的关系。可以发现，供应商的期望利润关于消费者的购买概率递增，同时存在唯一的预付比例δ∗使得供应商的期望利润达到最大。值得注意的是，消费者的购买概率对最优的预付比例δ∗的影响较大。正如图3-7（c）所示，δ∗|p＝0.5＜δ∗|p＝0.4＜δ∗|p＝0.3＜δ∗|p＝0.2，说明消费者购买产品的概率越大，供应商设定的预付款比例越小。这是自然的，因为消费者购买产品的概率越大，市场的波动性越小，使得供应商能够完全回收剩余货款的可能性越大。

总体而言，基于图3-7（a）、图3-7（b）和图3-7（c），我们发现供应商的生产成本和市场规模对最优预付比例的影响非常小，但是消费者购买产品的概率对最优预付比例的影响较大。由此，面临资金困境的零售商可以尝试通过促销的手段提升产品对终端消费者的吸引力，增加消费者购买的可能性。这种做法一方面可以增加预售的收入，另一方面可促使供应商设定较小的预付比例，两方面均能帮助零售商减缓资金约束的压力。