LMI（Linear Matrix Inequality）就是线性矩阵不等式，20世纪70年代初，Willems首先将线性二次型最优控制问题转化为线性矩阵不等式求解，并且建立了线性矩阵不等式与矩阵RICCATI方程之间的关系。20世纪80年代，控制问题的提出和研究，更加促进了线性矩阵不等式的研究和发展：第一是因为控制中的许多问题由于复杂性的增加，而H_∞不可能直接给出问题求解的解析表达式，但是却可以将问题转化为LMI求解，从而可以利用现有的各种优化方法，特别是近年来发展起来的内点算法，求得问题的唯一最优解；第二是由于在工程实际问题中，对控制系统提出的性能指标要求可能是多方面的，利用传统的矩阵等式方程，求解系统控制问题只能得到满足某一方面性能指标的最优唯一解。但是，利用LMI由于可以将对控制系统提出的多目标性能指标转化为对LMI解集的多个凸约束，因此就可以很容易利用凸优化技术得到满足不同性能指标最优的各个解，即得到一个解集。所以，LMI的求解在控制系统的分析、设计和系统辨识中扮演着一个重要的角色。在处理不确定性系统的许多鲁棒控制问题及其控制系统理论中引起的许多其他控制问题时，都可转化成一种称为线性矩阵不等式或带有线性矩阵不等式限制条件的最优化问题。

线性矩阵不等式的一般形如下：

式中，x=（x₁，…，x_n）^T∈Rⁿ是未知变量，称为决策向量。

F_i=F_i^T∈R^n×n，i=0，1，…，n是给定矩阵，通常为对称常数矩阵。F（x）＞0表示F（x）是正定的，即对于任意的非零向量u∈Rⁿ有不等式u^TF（x）u＞0成立。若下式成立：

则称式（5-1）为非严格线性矩阵不等式。同时多个线性不等式可用一个LMI来表示，即F₁（x）＞0，F₂（x）＞0，…，F₃（x）＞0，等价于：

可见，线性矩阵不等式是关于矢量变量x的一个凸约束，所以集合{x|F（x）＞0}是一个凸集，进而将线性矩阵不等式的求解可转化为凸优化问题的求解。

在系统稳定性问题中经常遇到的李雅普诺夫矩阵不等式：

F（x₁，x₂，…，x_n）＜R（x₁，x₂，…，x_n） （5-3）

其中的函数F和R是矩阵变量x₁，x₂，…，x_n的仿射函数（由1阶多项式构成的函数），通过适当的代数运算，上式可以写成线性矩阵不等式的一般表示式（5-1）的形式。在系统稳定性问题中经常遇到的李雅普诺夫矩阵不等式：

A^Tx+xA＜0 （5-4）

也是一个线性矩阵不等式，其中x是一个矩阵变量。显然，与式（5-4）相比，式（5-1）缺少了许多控制中的直观意义。但是另一方面式（5-1）涉及的矩阵也比式（5-4）中的多，从表达式在计算机中将占用的存储空间考虑，在高阶情况下，采用式（5-4）表示，而不是用其一般式（5-1）来表示，更为便利。

在具体处理线性矩阵不等式矩阵过程中，经常用到变量代换以及Schur补引理进行公式推导，同时线性矩阵不等式可以采用内点法进行数值求解，将许多控制问题转化为一个求解线性矩阵不等式系统的可行性问题。因此，本章补充Schur补（ShurComplement）引理（1917，美国数学家I.Shur）如下：

对于分块对称阵X

其中，当X₁₁可逆时，则将X/X₁₁=X₂₂-X^T₁₂X^-1₁₁X₁₂称为X₁₁在X中的Shur补。

则X＞0成立的充分必要条件是下列两个条件之一成立：

①X₁₁＞0，且X₂₂-X^T₁₂X^-1₁₁X₁₂＞0；(www.daowen.com)

②X₂₂＞0，且X₁₁-X₁₂X^-1₂₂X^T₁₂＞0。

线性矩阵不等式之所以能够在控制理论中得到广泛应用，是因为可以通过Schur补性质可将系统和控制处理中许多不是线性矩阵不等式问题转换成线性矩阵不等式的形式。对于二次型矩阵不等式，实际也就是所谓的代数Riccati方程，具有如下形式：

A^TP+PA+PBR^-1B^TP+Q＜0 （5-6）

其中，A，B，Q=Q^T＞0，R=R^T＞0是给定的适维常数矩阵，若存在P是对称矩阵满足上式，则称该Riccati方程有解。应用Schur补引理，上述矩阵不等式的可行性问题转化为以下等价的矩阵不等式：

式中的可行性问题，而后者是关于矩阵变量P的线性矩阵不等式，求解相对容易。

近年来，线性矩阵不等式广泛应用于解决系统与控制中的一系列问题。随着解决线性矩阵不等式LMI内点法的提出以及Matlab中LMI控制工具箱的推广应用，LMI这一工具已经受到相关领域研究人员的广泛重视。

LMI工具箱提供的求解器用来求解以下三类系统问题：

1.系统可行性问题

求解器feasp是通过求解如下的一个辅助凸优化问题来求解线性矩阵不等式系统的可行性问题的。

这个凸优化问题的全局最优值用t_min表示，作为求解器feasp输出的第一个分量。如果t_min＜0，则系统是可行的。

2.具有LMI约束的线性目标函数最小化问题

这类问题相应的求解器是mincx。如果c能看出来，可以直接代入求解。如果c不能直接看出来，则必须调用defcx函数。

3.广义特征值的最小化问题

这类问题前两式为普通约束，而后一式是线性比例约束，要求有约束0＜B（x），或者有保证此式成立的其他约束，线性比例约束总是放在线性矩阵不等式系统的最后，程序中并不出现λ，但在调用求解函数时，须指明线性比例约束的个数。求解此类最小化问题，相应的求解器是gevp。

此外，求解器gevp的使用较难掌握，原因是许多实际问题并不直接给出求解问题的标准形式，要将非标准LMI转化成标准形式后才能求解。