为了验证所提方法的有效性，MODGWO与其他经典多目标进化算法（如NSGA-Ⅱ、SPEA2及MODVOA）进行了对比。表5-6展示了这些算法获得的统计结果，其中“mean”表示平均值，“std”表示标准差，表中最后一行记录了对应性能指标的优胜比率（即准确率），如3/21表示对应算法在总共21个问题上对其中3个问题的求解结果是优于其竞争算法的。在表5-6中，最优结果均以加粗形式突出显示。

表5-6　NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODVOA和MODGWO获得的各性能指标的平均值和标准差

续表

表5-6展示了性能指标GD、Spread以及IGD的统计结果，从表中可看出提出的MODGWO在大多数问题上优于其他多目标进化算法。尤其是在综合性能指标IGD和收敛性指标GD上，除了个别问题外，MODGWO在大多数问题上具有压倒性优势。在分布性能指标Spread上，MODGWO也优于NSGA-Ⅱ和MODGWO。MODGWO的良好性能要归功于社会分层机制，该机制首先将种群分层，然后从种群中选择出三个较好的个体并指导搜索进程朝着最优解方向逼近。为了保持种群的多样性，三个较好的个体可能分别来自于不同的非支配水平层，以便提高搜索的多样性水平。因此，MODGWO可以有效地保持全局探索与局部寻优之间的平衡。而NSGA-Ⅱ、SPEA2及MODVOA则没有这种分层机制。同时，MODGWO在问题“40-3”、“60-3”、“80-3”及“100-3”上劣于其对比算法，其主要原因可能也归于社会分层机制。虽然该社会分层机制在一定程度上改善了解的质量，但它可能更有助于局部寻优。因此，搜索代理很可能在已知较好解的附近消耗更多时间来搜寻更好的解。由于这种社会分层机制可能失去探索搜索空间的未知领域的机会从而导致全局搜索能力的弱化，所以MODGWO在这些问题上展现出了较好的搜索多样性性能。但是MODGWO在大多数问题上展示出了显著性较好的结果，也就是说这种机制的负面影响不是本书关注的重点。这也反映了MODGWO中的社会分层机制有助于算法搜寻到较好的解。因此，从本章可总结得到MODGWO在求解该问题上优于NSGA-Ⅱ、SPEA2及MODVOA。

表5-7记录了在20个问题上获得的各性能指标的Wilcoxon符号秩检验结果，并给出了对应的p值。从表中可知，相比其竞争者，MODGWO具有较多的“+”，这表明MODGWO较其他多目标进化算法具有显著较好的性能。从表5-7可知，在指标GD和IGD上，MODGWO以α=0.05的置信水平优于NSGA-Ⅱ和SPEA2。

表5-7　在20个问题上获得的各性能指标的Wilcoxon符号秩检验结果（显著性水平α=0.05）(www.daowen.com)

图5-6　不同多目标进化算法获得的最佳IGD对应的Pareto前端

为了显示这些多目标进化算法的性能，图5-6展示了不同的多目标进化算法在随机选出的6个问题上获得的Pareto前端，这些Pareto前端对应着30次独立运算中不同的多目标进化算法获得的最佳IGD。这些图示证实了来自数值分析的某些结论，从图中可观察，相比NSGA-Ⅱ和SPEA2，MODGWO能够提供收敛性和分布性较好的非支配解。

续图5-6

表5-7中的p值表明了在这三个指标上，尤其是对于IGD和GD指标，MODGWO显著优于其他多目标进化算法。

MODGWO具有较好性能的主要原因在于以下几点：第一，采用社会分层机制可以改善解的质量，因为种群中的三个较好解指引着其他个体朝着最优解的方向进行搜索，所以MODGWO可以快速收敛到最优解或者近似最优解。这个观点可通过GD指标的数值实验结果得到证实。第二，为了保持种群的多样性，三个较好解可能来自不同的非支配水平层，这有助于提高搜索的多样性。在Spread指标上，MODGWO也优于其他多目标进化算法。第三，为了进一步加强综合性能，设计了一个机器负载降低策略来改善解的质量。因此，提出的MODGWO可以有效地求解这类调度问题。