为了验证MODVOA的有效性，将MODVOA与其他多目标进化算法（如NSGA-Ⅱ、SPEA2及MODGWO）进行了实验对比。表4-5到表4-7记录了这些算法获得的统计结果，这些表中最后一行统计了对应性能指标的获胜率，如3/30表示对应算法在30个问题中的3个问题上是优于其竞争算法的，表中的最优结果均以加粗形式突出显示。

表4-5　NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODGWO及MODVOA获得的GD指标的平均值和标准差

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表4-6　NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODGWO及MODVOA获得的Spread指标的平均值和标准差

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表4-7　NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODGWO及MODVOA获得的IGD指标的平均值和标准差

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表4-5统计了NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODGWO及MODVOA获得的GD指标的平均值和标准差。从统计结果可知，MODVOA在11个问题上都优于其他多目标进化算法，其中在9个问题上具有显著性优势。SPEA2在10个问题上要好于其他多目标进化算法，NSGA-Ⅱ在9个问题上要优于其他多目标进化算法。而MODGWO却不能在任何问题上取得最优的GD指标的结果，这是因为其搜索机制影响有限，即其搜索算子在最好解的指引下容易陷入局部收敛。

表4-6展示了NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODGWO以及MODVOA获得的Spread指标的平均值和标准差。从统计结果可知，MODVOA在28个问题上都差于其他多目标进化算法。SPEA2在14个问题上都好于其他多目标进化算法，这是由于其采用了外部文档来存储所获非支配解。若非支配解超出了外部文档规定的规模，则运用拥挤距离技术来保持外部文档内的非支配解的多样性。NSGA-Ⅱ在9个问题上要优于其他多目标进化算法。而MODGWO在5个问题上取得了最优结果。因此在分布性能指标上，各算法的优劣依次为：SPEA2、NSGA-Ⅱ、MODGWO和MODVOA。

表4-7记录了NSGA-Ⅱ、SPEA2、MODGWO以及MODVOA获得的IGD指标的平均值和标准差。IGD是综合性能指标，在一定程度上能同时反映算法的收敛性和多样性，此外也能反映所获Pareto前端的覆盖范围。从统计结果可知，MODVOA在所有问题上均优于其他多目标进化算法，且在所有问题上均显著地好于其对比算法。

图4-11展示了这四种算法在30个问题上IGD指标的箱形图，图中UPM表示不相关并行机问题。箱形图需要用到统计学中的四分位数的概念，图4-12给出了箱形图的详细结构，该图包含了四分位数，它们分别为第一四分位数（Q1）、第二四分位数（Q2）以及第三四分位数（Q3）。第三四分位数与第一四分位数的间距称为四分位间距（inter quartile range，IQR）。Whisker上限是延伸至距框顶部1.5倍框高范围内的最大数据点，Whisker下限是延伸至距框底部1.5倍框高范围内的最小数据点，超出Whisker上限或下限的数值将使用“+”符号表示，平均值采用“○”符号表示。从图4-11可知，MODVOA的综合性能显著优于其他多目标进化算法，其结果分布图与表4-7给出的数据基本保持一致。

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图4-11　四种算法在30个问题上IGD指标的箱形图

采用Wilcoxon符号秩检验方法对这四种算法在30个问题上的平均指标进行显著性检验，所有测试的显著性水平均设置为95%（对应α=0.05）。符号“+”表示MODVOA显著地优于其竞争算法；符号“-”表示MODVOA显著地劣于最好的算法；符号“=”表示对比的算法之间无显著性差异。表4-8展示了检验结果，若表中的p值小于0.05，则表明这些算法之间存在显著性差异。从表中结果可知，MODVOA在求解加工时间可控的并行机调度优化问题上显著优于其他算法，尤其是在综合性能指标上。这进一步验证了MODVOA在求解加工时间可控的并行机调度优化问题上的有效性。

续图4-11

续图4-11

续图4-11

续图4-11

图4-12　箱形图结构

表4-8　各指标下的Wilcoxon符号秩检验结果（显著性水平α=0.05）

为了进一步说明这些多目标进化算法获得Pareto前端的质量及分布情况，图4-13展示了不同多目标进化算法在随机选出的5个问题上获得的Pareto前端，这些Pareto前端对应着30次独立运算中不同的多目标进化算法获得的最佳IGD指标。这些图证实了来自数值分析的某些结论，相比NSGA-Ⅱ、SPEA2及MODGWO，MODVOA能够找到收敛性和分布性均较好的非支配解。

图4-13　不同多目标进化算法获得的Pareto前端