基于上述多目标优化问题概念，在介绍了常见的多目标进化算法之后，下面对多目标进化算法中常用的性能指标进行介绍，便于读者理解本书中利用各种指标对算法性能进行的分析。

多目标优化问题与单目标优化问题不同，多目标优化问题的结果不是单一的最优解，而是一组非支配解集。质量较好的非支配解集必须满足以下两个条件：

（1）所获的非支配解尽量靠近Pareto最优解集；

（2）所获的非支配解尽量沿着Pareto最优前端均匀地分布。

为了验证算法的性能，通常需要采用有效的指标来进行测试。目前，衡量多目标进化算法性能的常用指标有世代距离（generational distance，GD）、分布（spread）指标、反世代距离（inverted generational distance，IGD）以及超体积（hypervolume，HV）等。图2-5简单描述了性能指标的分类。

图2-5　性能指标分类

由于单一指标仅仅用来验证算法的收敛性或多样性性能，因此它们需要配合起来使用以测试算法的整体有效性。接下来对这些代表性指标分别进行详细阐述。

1.世代距离（GD）

在理想情况下，应使获得的Pareto前端尽可能地靠近真实Pareto前端。世代距离是用来衡量获得的Pareto前端到真实Pareto前端之间平均距离的性能指标，其计算公式如下：

式中：是所获Pareto前端（PF）元素点的数目；Di为第i个Pareto前端点到Pareto最优前端中最近点之间的欧氏距离。

显然，GD表示获得解到最优Pareto解的收敛程度，GD值越小说明其收敛性能越好。为了消除不同目标量纲的影响，该指标结果采用了归一化处理技术进行处理。

2.分布指标（Δ）

分布指标是由Deb［11］提出来的，它是测量所求Pareto前端分布均匀情况的指标，用Δ表示，表达式如下：

式中：di为所得PF上的点i与其附近的点之间的最短欧氏距离；-d为欧氏距离的平均值是获得的PF点与PF*边界点的最短欧氏距离；为构成所获PF点的总数。(www.daowen.com)

当该指标值为0时，优化问题的解展现出均匀分布特性。图2-6展示了获得的PF分布图。该指标的优点在于计算简单，不需要知道PF*最优解，只需要知道最优Pareto边界点即可；缺点是该性能指标不适用于求解非连续、分布不均匀的优化问题。因此，采用该性能指标时，需要提前了解优化问题的Pareto前端的分布情况，并建议与其他指标搭配起来使用［18］。

图2-6　获得的Pareto前端分布示意图

3.反世代距离（IGD）

IGD是GD指标的一个变种，是一个综合性能指标。它计算的是Pareto最优前端上的点到获得的Pareto前端点之间的平均欧氏距离。IGD的计算公式可表示为

式中：为Pareto最优前端点的数目表示Pareto最优前端中的点x到获得的Pareto前端中最近点的距离。

值得注意的是，很多问题的Pareto最优前端是未知的，一般将所有算法在问题上运行多次所获得全部解中的非支配解作为当前问题的Pareto最优前端（参考点）。为了消除不同量纲的影响，该指标结果采用了归一化处理技术进行处理。

4.超体积（HV）

HV是衡量获得的Pareto前端在目标区域所围成的体积的指标，其表达式如下：

式中：Q为构成PF集合点的总数。对于PF中的点i，vi是由点i和参考点所构成的超体积。

该指标值越大，说明所得的PF越能在PF*上宽广地分布。Pareto前端构成的超体积如图2-7所示。

图2-7　Pareto前端构成的超体积

若PF*是非凸的，则该指标在衡量算法性能时会存在一定程度的缺陷。如多目标优化问题的参考点假设为，这在某些问题上是不可行的［19］。