对项目进行经济评价时，应对其收益与费用进行时间价值的等位变换，即将不同时点上的资金价值转换为相同时点（一个或多个）上的价值，使之具有时间可比性。但在计算过程中会发现，每个投资项目的现金流量的发生是不尽相同的。有的项目是一次投资，多次收益；有的项目多次投资，多次收益；有的项目多次投资，一次收益；也有的项目一次投资，一次收益。这就形成了不同的现金流量类型，此时可以采用不同的资金等值计算公式来进行计算。

常用的资金等值计算现金流量类型主要有四种：一次支付、等额支付、等差支付和等比支付。下面将详细介绍这几种类型的资金等值计算公式。

1．一次支付

一次支付又称为整付，是指项目在整个寿命期内，其现金流量无论是流入还是流出均在一个时点上一次发生。一般有两种情况：一种是发生在期初，一种是发生在期末。其现金流量图如图3-4 所示。在考虑资金时间价值的情况下，图3-4 中的初始现金流出P 刚好能被最终的现金流入F 补偿。

图3-4　一次支付现金流量图

一次支付的资金等值计算公式包括以下两个。

（1）一次支付终值公式（已知P 求F）。

这个公式的含义是：如果现在投资P 元，当利率为i 时，在复利计息的条件下，第n 期期末所取得的本利和为多少？这个问题与复利计算的n 年末的本利和F 相同，因此，一次支付终值公式为

式中，(1 +i )n称为一次支付终值系数，通常用符号( F / P ,i ,n )来表示。所以一次支付终值公式可简化为

由于式（3-9）中有高次方程，因此，为了计算方便，系数可直接查阅附表《复利系数表》得到。查表时，先找到系数（F/P，i，n），然后找到相应的利率和计息期数就可查到其系数值。其他等值计算公式中的系数也可用相同方法查表得到。图3-5 为一次支付终值公式现金流量图。

图3-5　一次支付终值公式现金流量图

【例3-5】 某企业计划开发一项新产品，拟向银行借贷款100万元，若年利率为10%，借期为5 年，问5 年后应一次性归还银行的本利和为多少？

解：F =P(1 +i ) n=100 × (1 +0.1) 5=161.05 (万元)

也可以查《复利系数表》进行计算。当折现率 i=10%，n= 5时，( F / P ,i ,n ) =1.6105。则

即5 年后应该一次性归还银行的本利和为161.05 万元。

（2）一次支付现值公式（已知F 求P）

这个公式的含义是：如果想在未来的第n 期期末一次收入F 元，在利率为i 的复利计息条件下，现在应一次投入本金（现值）P 是多少。其现金流量图如图3-6 所示。

图3-6　一次支付现值公式现金流量图

一次支付现值公式是一次支付终值公式的逆运算，由式（3-9）可直接导出

【例3-6】 某企业拟在3 年后购置一台新的分析仪器，估计费用为2 万元，设银行存款利率为6%，问现在应存入银行多少元？

也可以查《复利系数表》进行计算。当折现率i=6%，n= 3时，( P / F,6%,3) =0.8396。则有

2．等额支付

在工程经济实践中，多次支付是最常见的支付形式。多次支付是指现金流入和现金流出不是一次全部发生，而是在不同时刻多次发生。现金流量的大小可以是不等的，也可以是相等的，即分等额支付和不等额支付两种。等额支付是指现金流量在各个时刻点等额、连续发生。等额支付包括四个等值计算公式，对于等额支付计算公式有以下约定：每期等额支付值　A，连续地发生在每期期末；现值P 是发生在第一个A 的期初；终值F 与最后一个A 同时发生。

（1）等额支付终值公式（已知A 求F）。

等额支付终值是指在一定时期内，每个相同的时间收入或支出相等金额，在到期时按复利计算的本利和。等额支付终值公式的含义是：已知每期发生的金额A，年利率为i，求n年后积累起的本利和F。其现金流量图如图3-7 所示。

图3-7　等额支付终值公式现金流量图（期末付款）

图3-7 中，从第1 年末至第n 年末有一等额的现金流序列，每年的金额A 称为年金或年值。在考虑资金时间价值的条件下，系统内1 至n 年的总现金流出恰能补偿总现金流入。要求解F 值，可把等额支付序列中的每一次等额支付都看成是一次支付的形式，把每个A 都换算成第n 年末的终值，期末的本利和F 则为多个一次支付的终值之和。则有

图3-7 所示现金流量A 均发生在每期的期末，在实际应用中，A 常常会发生在每期的期初。若现金流量发生在每期的期初，现金流量图如图3-8 所示。此时则不能直接套用式（3-11）计算，必须进行一定的变换，需要先将年初发生的现金流量折算成年末的等值金额，然后再利用式（3-11）计算。即

则

式（3-12）也可简化表达为

图3-8　等额支付终值公式现金流量图（期初付款）

【例3-7】 某项目的建设期为4 年，在此期间，每年末向银行借贷100 万元，银行要求在第4年末一次性偿还全部借款和利息。若年利率为8%，问第四年末一次性偿还的总金额应为多少？若每年年初借款，应偿还多少？

解：期末借款，则有

或

期初借款，则有

或

若每年末借款，则第四年末一次偿还的贷款总金额为450.60 万元，若每年年初借款，应偿还486.64 万元。

（2）等额支付偿债基金公式（已知F 求A）。

等额支付偿债基金是指在一定时期内，为使期末本利和达到预定数额而于每期期末存入的相同数额的款项。等额支付偿债基金公式是等额支付年金终值公式的逆运算。其含义是：已知期末的终值F，年利率为i，求n 年内每期期末的等额系列金额A。其现金流量图如图3-9所示。

图3-9　等额支付偿债基金公式现金流量图（期末付款）

由式（3-11）可以直接推导出

上述公式适用于年末付款的情况，若是年初付款，现金流量如图3-10 所示，同样也不能直接套用上述公式，也需要对公式进行变形，即

则有

图3-10　等额支付偿债基金公式现金流量图（期初付款）

【例3-8】 某企业计划3 年后建一职工俱乐部，估计投资额为300 万元，欲用每年积累一定数额的专项福利基金解决。设银行存款为8%，问每年末至少应存入多少钱？若期初存款需存入多少？

解：若年末存款，则有

或

若年初存款，则有

或

若每年年末存款，则每年末至少应存92.40 万元；若期初存款则需存入85.55 万元。

（3）等额支付现值公式（已知A 求P）。

等额支付现值是指将在一定时期内按相同时间间隔在每期期末收入或支出的相等金额折算到第一期期初时的现值。等额支付现值公式也称年金现值公式。其含义是：在计算周期内已知每年年末等额收支一笔资金，在折现率为　i　的情况下，求此等额年金收支序列的现值总额。其现金流量图如图3-11 所示。

图3-11　等额支付现值公式现金流量图（期末付款）

根据图3-11，可把等额序列视为n 个一次支付的组合，每个A 相对于P 来说都是一个未来值，计算时可以利用一次支付现值公式推导等额支付现值公式。先将每个A 折算为期初的现值，然后再求和。公式推导过程类似等额支付年金终值公式的推导，在这里就不再赘述。这里采用简化方法，利用前面已经推导出的两个公式来直接计算。

【例3-9】 某企业在技术改造中欲购置一台废热锅炉，每年可增加收益3 万元，该锅炉可使用10 年，期末残值为0。若预计年利率为10%，问该设备投资的最高限额是多少？若该设备售价为19 万元，是否应该购买？

解：已知A=3 万元，i=10%，n=10 年，求P。由等额支付现值公式（3-15）得

也可以表示为

因为设备投资的最高限额为18.43 万元，目前售价19 万元高于投资最高限额，所以不应该购买。

上述公式适用于年末付款的情况，若是年初付款，现金流量图如图3-12 所示。同样也不能直接套用上述公式，也需要对公式进行变形。即式（3-16）也可简化表达为：

图3-12　等额支付现值公式现金流量图（期初付款）

（4）等额支付资金回收公式（已知P 求A）

等额支付资金回收是指投入的一笔资金，在一定期限内于每期的期末以相等数额回收的年金。等额支付资金回收公式的含义是：在期初一次投入资金数额为P，欲在m 年内全部收回，在折现率为i 的情况下，求每年年末应等额回收的资金A，其现金流量图如图3-13 所示。(www.daowen.com)

图3-13　等额支付资金回收公式现金流量图（期末付款）

等额支付资金回收公式可由等额支付现值公式直接得出，它是等额支付现值公式的逆运算。【例3-10】 某企业拟建立一套水循环再利用系统，需投资10 万元，预计可使用10 年，假设期末无残值。如果在投资收益率不低于10%的条件下，问该系统投入使用后，每年至少应节约多少费用，该方案才合算？

解：计算过程为

或

即该系统投入使用后，每年至少应节约1.63 万元，该方案才合算。

同理，若是期初付款，则现金流量图如图3-14 所示，等额支付资金回收公式变形为

式（3-18）可简化表达为

图3-14　等额支付资金回收公式现金流量图（期初付款）

3．等差支付

在许多工程经济问题中，现金流量每年均有一定数量的增加或减少，这种多次不等额支付类型也是很常见的，如房屋或设备随着其使用期的延伸，维修费将逐年有所增加等，这些都属于等差支付的现金流量。

等差支付的现金流量是指在一定基础数值逐期增加或逐期减少的现金流量。一般是将第1 期期末的现金流量 A1作为基础数值，然后从第2 期期末开始每期递增G，即第2 个计息期末的现金流量为 A1+ G，第3个计息期末的现金流量为 A1+2G，第　n个计息期末的现金流量为 A1+ ( n-1)G，现金流量如图3-15 所示。

（1）等差支付现值公式（已知G 求P）。

如果能把图3-15 中的现金流量转换成等额支付形式，那么根据等额支付的现值公式或者终值公式，很容易求得第0 年的现值P 或第n 年末的终值F。因此，可以将上图分解为两个部分：每期数额为 A1的等额支付年金部分PA1和由等差定额G 构成的等差递增支付部分 PG。分解后的现金流量图如图3-16（a）和图3-16（b）所示。分别对等额支付序列和等差支付序列进行计算，然后再将两部分加总。

图3-15　等差支付现金流量图

图3-16　分解后的现金流量图

将式（3-19）两边同乘(1 +i) ，得

式（3-20）减去式（3-19），得

整理可得

故

【例3-11】 某工厂在技术改造中第一年的收益额为100 万元，其后逐年进行技术改造，优化工艺参数等，使收益逐年递增。设第一年以后至第8 年末收益逐年递增额为3 万元。试求在年利率为10%的条件下，该厂8 年的收益现值。

解：计算过程为

由以上计算可知在年利率为10%的条件下，该厂8 年的收益现值为581 万元。

（2）等差支付终值公式（已知G 求F）。

同理，利用前面介绍过的等额支付终值公式，可推导出等差支付的终值公式为

（3）等差支付年值公式（已知G 求A）。

根据前述等额支付偿债基金公式（3-13）与等差支付终值公式（3-22）；或者等额支付资金回收公式（3-17）与等差支付现值公式（3-21）可直接推导出等差支付的年值公式。其表达式为

【例3-12】 一套设备的使用期为8年，该设备第一年不需要维修费，第二年维修费需要50元，第三年到第八年维修费每年比前一年增加50元。设年利率为10%，该设备的年平均维修费是多少。

解：根据题意可得

即假设年利率为10%时，该设备的年平均维修费是150.2 元。

上述等差序列公式也可以用于计算每期逐期递减的均匀系列，只不过要将公式中的G 换成－G，其他项都不变（推导公式略）。

【例3-13】 某工厂投产一批设备，第1 年收益额为100 000 元，从第2 年到第8 年末逐年递减3 000 元。假设收益率为15%，按复利计息，试求该设备在8 年期限内的收益现值和年值。

解：根据题意可得现金流量图为

图3-17　现金流量图

具体计算过程为

4．等比支付

等比支付现金流量是指在一定基础数值逐期等比增加或逐期等比减少的现金流量。假定第一个计息期末的现金流量为1A ，以后每期按百分比h 递增。其现金流量如图3-18 所示。

1A 为每期的定值，h 为等比系数。把每期的现金流量折算成期初的现值，然后求和，即可得到等比支付现金流量的现值。

图3-18　等比支付现金流量图

周期n 的现金流量为

其现值为

总现值为

经整理得

同理可以推导出等比支付终值公式和年值公式。推导过程略。

等比支付终值公式为

等比支付年值公式为

【例3-14】 某企业需要一块土地建造生产车间，如果是租赁，目前每亩土地年租金为5 000 元，预计租金水平在今后20 年内每年上涨6%；如果将该土地买下来，每亩地70 000元，需要一次性支付，但估计20 年后还可以以原价格的2 倍出售，若投资收益率为15%，请问租赁合算还是购买合算？

解：如果租赁土地，20 年内每亩土地年租金的现值是

如果购买土地，每亩土地全部费用的现值是

由于 P1﹤ P2，所以租赁更合算。

5．资金等值计算公式运用时应注意的问题

以上介绍了资金等值计算公式的四种不同类型，为了便于学习和应用，将上述等值计算中的9 个公式汇总于表3-5 中。

其中表3-5 中一次支付、等额支付的6 个公式是六个基本公式，要熟练掌握；等差、等比序列现金流量复利公式是在6 个基本公式的基础上的应用与推广。在六个基本公式中，又以复利终值（或现值）公式为最基本的公式，其他公式都是在此基础上经数学推导得到的。在具体运用公式时应注意下列问题。

表3-5　资金等值计算公式汇总表

（1）方案的初始投资，假定发生在方案的寿命期初，即“零点”处；方案的经常性支出或收入假定发生在每个计息期末。

（2）现值P 是在当前年度之前发生，0 时点的现值一般代表项目期初的现值，F 在当前以后第n 年年末发生，A 是在考察期间各年年末发生。当现金流量包括P 和A 时，序列的P发生在第一个A 的期初，当现金流量包括F 和A 时，序列的最后一个A 和F 同时发生。

（3）等差支付中，第一个G 发生在序列的第二年年末。

（4）弄清公式的推导与联系，灵活运用。复利计算公式以复利终值公式作为最基本公式，其他公式都是在此基础上，根据相应的定义，并运用数学方法推导所得，各公式之间存在一定的内在联系。从各个公式复利系数的角度来看，主要包括两种关系：一种是系数之间存在倒数关系，另一种是系数间存在乘积关系。

①倒数关系如下：

②乘积关系如下：

此外还有一对特殊的换算关系，其表达式为

掌握各系数之间的关系，便于进行等值换算。若已知其中一个系数，便可换算出另一个系数。但应注意，只有在i、n 等条件相同的情况下，上述关系才成立。

在实际运用中，通常都已将各种系数按利率不同计算后列表，称之为复利系数表（见附表）。因而上述各种情况的复利计算可直接利用复利系数表进行，大大简化了计算过程。

（5）充分利用现金流量图。现金流量图不仅可以清晰地反映现金收支情况，而且有助于准确地确定计息期数，保证计算准确。