群决策分析是研究多人如何作出统一的有效的选择，与一般单人决策分析有很大的不同，首先介绍群决策相关的基本理论与基本概念。

（一）福利经济学和社会福利函数

早期群决策理论的基本原则是：决策群体的最优选择应该是使社会福利达到极大，或群体效用极大。福利经济学和社会福利函数是群体决策研究的重要理论基础。

社会中的每个人对待由一项方针和政策所造成的社会状况会有不同的偏好，群决策希望解决的是集结群中每个人的偏好以形成群的偏好，然后根据群的偏好对一集方案进行排队择优。福利经济学派企图使社会中的资源和商品的分配产生最大的社会福利，福利经济学家们所研究的问题是从社会福利的观点去评价各种可能的社会状况。什么是社会福利？福利经济学家们认为它是能测度的量，人们根据这个量去判断一种社会状况是优于，无差异于还是劣于另一种社会状况。为此福利经济学家们定义了一个社会福利函数，它是社会状况的一个实值函数，是社会福利的测度。

社会福利函数的一种最一般的表示就是这些成员的效用函数的函数

当符合一定条件时，可以表现为加性的形式：

式中 x——社会状况；

ui（x）——社会状况x给予个人i的福利。

Arrow不可能定理

设群众每一个成员把所有可能的社会状况（或称方案）按照它的偏好做一个有序的排列，Oi记第i个成员对所有的方案的排队。由这一集个人的方案排队可定义偏好断面P，它是

群对方案作出选择，需要群从偏好断面（即从所有的成员个人的方案排队）产生群偏好关系R（即群对所有方案的排队）。从偏好断面产生群偏好关系的规则称为集体选择规则，集体选择规则为一函数Gi，它定义在所有可能的偏好断面P上：

因此，Gi是一规则，即从每个P产生一个唯一的偏好关系R。

Arrow对集体选择规则所施加的条件包含两条公理和五点假设，为了便于说明这些公理和假设，我们引入下面的记法。

设有一集方案{x1，…，xn}，其中任两个方案为xi和xj，当个人（或群）认为方案xi优于xj，则记作xi＞xj；如认为两个方案无差异，则记作xi～xj；如认为xi不劣于xj，则记作xi≥xj。

Arrow对个人（或群）的偏好提出的两条公理是：

公理1（连通性）个人（或群）对于一集方案{x1，…，xn}中任何2个方案的偏好，不是xi≥xj，就是xj≥xi，或者两者同时成立。

公理2（传递性）对于一集方案{x1，…，xn}中的某3个方案xi，xj和xk，如果个人（或群）认为xi≥xj，xj≥xk，则必有xi≥xk。

Arrow还认为个人的偏好和群的偏好之间的关系应满足以下5个条件。(www.daowen.com)

条件1（完全域）①方案的数目不少于3个；②群中至少有2个人；③社会福利函数包含所有的偏好断面，每种偏好断面都会产生群偏好关系。

条件2（群偏好关系和个人排队的正联系）假设对于一个特殊的偏好断面，群认为xi优于xj。如果偏好断面作如下修改：①除方案xi之外，每个人把其余方案作成对比较，其偏好不变；②每个人把xi和其余所有方案作成对比较。

条件3（无关方案的独立性）令H为方案G中的一子集。如果每个人对这集方案G的偏好作了修改，但这种修改并未改变每个人对H中的每对方案的偏好，则群对H中的方案的偏好，无论是由原来的那集个人偏好所产生，还是由修改后的那集个人偏好所产生，都必然相同。

条件4（Pareto原则）对于每个方案xi和xj，在集结个人偏好为群偏好时，总有些人认为xi优于xj，才使群认为xi优于xj。

条件5（非独裁性）在群中没有一个人有这样的权利，对于任何一对方案xi和xj，当他认为xi优于xj，群就认为xi优于xj，而不管其他成员的偏好如何。

Arrow提出了不可能定理：没有一个社会福利函数能同时满足两条公理和五个条件。

Arrow的不可能定理已成为群决策研究的经典性结论，是群决策研究的一个里程碑，并对社会的政治和经济产生深远的影响。

（二）群效用函数

为什么按照Arrow的概念不存在一个社会福利函数能集结个人的偏好以形成群的偏好，而同时适合两条公理和五个条件？这需要考察其条件。我们发现它的无关方案独立性条件是有局限的，因为无关方案对集结个人偏好并不见得是无关的。另外在Arrow集结个人偏好时避开了两个重要的问题，一个是个人对各方案的偏好程度，第二个是偏好程度的人与人之间的比较。

如果把Arrow集结个人排队的概念修改为集结个人的群效用函数，则Arrow的不可能定理成为可能定理，即存在一个集结个人效用的群效用函数，这个函数和Arrow的两条公理和五个条件一致。群效用函数一般可表示为

式中 X——方案集；

ui（x），i=1，…，n为个人i对方案x的效用；

U（x）为群效用函数。

上式表示的是群效用函数的一般形式，不便于实际使用，为了便于实际使用，需要寻找一种特殊形式，例如加性形式。

如果群效用函数和群中每个成员的效用函数都适合下面两个条件：

条件1 群效用函数和每个成员的效用函数都适合效用的4个公理；

条件2 如果群中每个成员都认为某两个方案是无差异的，则群也认为这两个方案是无差异的。