根据第一节的内容分析，得知整个系统中资源的供给量、需求量以及执行主体可动员量等都是随机的，且具有多个状态。而通用生成函数法能较好地表征执行主体动员能力系统的多状态特性。因此，本节将在简要介绍通用生成函数方法的基础上，利用该方法对执行主体的动员能力进行分析求解。

（一）通用生成函数简介

通用生成函数是一种高效的离散随机变量组合计算工具，在1987年，由Ushakov首次在可靠性分析中利用，随后被Anatoly Lisnianski和Gregory Levitin广泛运用于多状态系统的可靠性分析和性能研究中。其基本思想就是将离散随机变量表示为多项式形式，运用多项式的组合算子，通过递归运算得到最后结果的离散随机变量的多项式形式。

通用生成函数法通常采用z变换和组合算子⊗φ。因此，将随机变量和随机变量构成函数的z变换多项式称为它们的u函数。而系统中元件i（本节中的受灾地）的u函数用ui（z）表示，整个系统的u函数用U（z）表示。

其中，Yi有ki种可能的取值，并且αi，h=Pr{Yi=yi，h}，即Yi=yi，h事件的概率。

利用组合算子⊗φ计算整个系统中n个相互独立的随机变量φ（Y1，...，Yn）概率质量函数为：

从上面的公式可以看出，u函数具有典型的多项式特点，所以可以表示多状态的性能分析，因而采用通用生成函数法来计算执行主体动员能力大小。

（二）执行主体动员能力求解

由于系统中供给量和需求量都会受到内外界因素的影响而产生不同的变化。因此，受灾地i供给量Gi会有Hi个不同的取值，表示为gi={gi，1，gi，2，...，gi，Hi}，而需求量Wi同样有Ki个不同的取值，表示为wi={wi，1，wi，2，...，wi，Ki}。

则供给量、需求量表达式分别为：

其中，pi，h=Pr{Gi=gi，h}，表示供给量Gi能够以pi，h的概率供应gi，h的数值。

其中，qi，k=Pr{Wi=wi，k}，同样表示需求量Wi需要wi，k的数值的可能性是qi，k。

当然，执行主体可动员量也是具有多个状态，其可能的取值为c={c1，c2，...cL}，表达式：

其中，βl=Pr{C=cl}，表示可动员量C能够以βl的概率获得cl的动员量。(www.daowen.com)

受灾地i的供给量与需求量运算表达式：

其中，πi，m=Pr{（Si=si，m）∩（Di=di，m）}。

那么，根据公式5.1及公式5.2可得出以下指标量：

Ω集合中受灾地供给量与需求量关系表达式为：

整个系统中，N个受灾地相互调配资源的结果表达式为：

利用递推公式求得整个系统供给量和需求量关系表达式（5.14）。

①分配UΩ（z）=U∅（z）=z0，∅；

②对于受灾地i=1，2，...，N重复进行运算，得到UΩ∪i（z）=UΩ（z）⊗+Δi（z），分配Ω=Ω∪i。

最后得到整个系统供给量与需求量关系表达式为：

执行主体进行资源调配之后，整个系统供给量与需求量的表达式为：

最终得到执行主体动员能力系统的可靠度为：

整个模型求解的符号含义，如表5.2所示。

表5.2　执行主体动员能力系统模型描述含义