1.直方图的定义

直方图是根据数据的分布规律，用一系列宽度相等、高度不等的矩形绘出的图形，有时又称为质量分布图。

直方图能够显示质量数据波动分布的规律，通过对工序或批量产品的质量水平及其均匀程度进行分析，可用来推断整个生产过程是否正常，在实际生产中有广泛的应用。直方图只能显示收集数据这一阶段过程的集中趋势及离散程度，而不能通过所收集的数据来证明过程是稳定的。但如果直方图显示的图形是不稳定的，那么该过程极可能是不稳定的。

2.直方图的绘制

绘制直方图可采用以下的步骤。

（1）收集数据。收集N 个数据，N 应不小于50，最好在100 以上。

（2）绘频数表。

①找出数据中最大值XL 和最小值XS，求出极差R。即

②根据数据个数，确定分组数k。

分组数可以按照经验公式k ＝1 ＋3.322 lgN 确定，数据多时多分组；数据少时少分组。一般N 小于50 ～100 时，k 取6 ～10；N 在100 ～250 时，k 取7 ～12。为使用方便，常取k ＝10。

③确定组距h，组距即组与组之间的间隔，等于极差除以组数。即

④确定各组边界值。首先确定第一组下限值，应注意使最小值XS 包含在第一组中，且使数据观测值不落在上、下限上。第一组的上、下限值为：

⑤依次加入组距h，求得各组上、下限值。第一组的上限值为第二组的下限值，第二组的下限值加上h 为第二组的上限值，其余类推，直到最大值的组数。

⑥统计频数，编制频数分布表。

（3）绘直方图。以分组号为横坐标，以频数为高度作纵坐标，画出一系列矩形，这样就得到频数（或频率）直方图。

案例　直方图的制作

生产某种电阻，要求电阻R 为（30.0 ±1.0）Ω，试绘制直方图。（1）收集数据，见表4－3。

表4－3　50 个电阻样本数值

（2）制频数表。

①找出数据中最大值XL、最小值XS 和极差R：

②确定数据的大致分组数k。

按照经验公式k ＝1 ＋3.322 lgN 确定，或按经验选取，本例分组数取k ＝6。

③确定分组组距h：

④计算各组上、下限。

第一组　下限29.1－0.3／2 ＝28.95 ；　上限28.95 ＋0.3 ＝29.25

第二组　下限29.25；上限29.25 ＋0.3 ＝29.55

第三组　下限29.55；上限29.55 ＋0.3 ＝29.85

第四组　下限29.85；上限29.85 ＋0.3 ＝30.15

第五组　下限30.15；上限30.15 ＋0.3 ＝30.45

第六组　下限30.45；上限30.45 ＋0.3 ＝30.75

第七组　下限30.75；上限30.75 ＋0.3 ＝31.05(www.daowen.com)

⑤绘制频数分布表，见表4－4。

表4－4　频数分布表

表中组中间值bi ＝ （第i 组下限值＋第i 组上限值）／2，频数fi 就是N 个数据落入第i组的数据个数，而频率pi ＝fi／N。各组频数填好以后检查一下总数是否与数据总数相符，避免重复或遗漏。

⑥绘制直方图。

以频数（或频率）为纵坐标，数据观测值为横坐标，以组距为底边，数据观测值落入各组的频数fi （或频率pi）为高，画出一系列矩形，这样就得到频数（或频率）直方图，如图4－2 所示。

图4－2　频数直方图

3.直方图的类型（见图4－3）

（1）正常型（对称型）。正常型直方图具有“中间高，两边低，左右对称”的特征，它的形状像“山”字。数据的平均值与最大和最小值的中间值相同或接近，平均值附近的数据频数最多，频数在中间值向两边缓慢下降，并且以平均值左右对称。这时生产过程是稳定的，工序处于稳定状态，工序加工能力充足。这种形状是最常见的，其他都属非正常型。

（2）偏态型。数据的平均值位于中间值的左侧（或右侧），从左至右（或从右至左），数据分布的频数增加后突然减少，形状不对称。产生的原因是：

①一些形位公差要求的特性值是偏向分布。

②加工者担心出现不合格品，在加工孔时往往偏小，加工轴时往往偏大造成。

图4－3　不同形状的直方图

（3）孤岛型。在标准型的直方图的一侧有一个“小岛”。出现这种情况是由于测量有误或生产中出现异常，造成原因可能是一时原材料发生变化，或者一段时间内设备发生故障，或者短时间内由不熟练的工人替班等。

（4）锯齿型。锯齿型直方图的形状凹凸相隔，像梳子折断齿一样，使图形呈锯齿状参差不齐。出现锯齿型直方图，多数是由于测量方法，或读数存在问题，或处理数据时分组不适当等原因造成，因此要重新收集和整理数据。例如做频数分布表时，如分组过多，会出现此种形状。

（5）平顶型。平顶型直方图的图形无突出顶峰，当几种平均值不同的分布混在一起，或某种要素缓慢变化时（如刀具磨损），常出现这种形状。

（6）双峰型。双峰型直方图的图形出现两个顶峰，靠近直方图中间值的频数较少。当有两种不同的平均值相差大的分布混在一起时，常出现这种形状，这是由于观测的数值来自两个总体、两种分布。生产中极可能是由于把不同加工者或不同材料、不同加工方法、不同设备生产的两批产品混在一起形成的，例如将两个工人或两台机床等加工的相同规格的产品混在一起就造成了这种图形。

4.直方图的观察分析

产品质量特性值的分布，一般都是服从正态分布或近似正态分布。当产品质量特性值的分布不具有正态特性时，往往生产过程是不稳定的，或生产工序的加工能力不足。因而，根据产品质量特性值所作出的直方图的形状，可以推测生产过程是否处于稳定状态，或工序能力是否充足，由此可对产品的质量状况做出初步的判断。

（1）图形分析。通过观察直方图的整体形状，判别它是正常型的，还是异常型的，是哪一种异常，然后分析产生的原因，采取相应的对策。

正常型直方图是符合正态分布的图形；异常型直方图是不符合正态分布特点的图形，如锯齿型、偏态型、孤岛型、双峰型和平顶型等。

（2）公差（即技术标准）比较分析（见表4－5）。可在直方图上画出公差界限，观察质量分布是否符合公差界限的要求，观察直方图中质量分布范围，观察质量分布中心与公差中心的偏离程度。如果质量分布的中心与公差的中心重合，实际质量分布范围略小于公差界限为良好状态。

表4－5　不同直方图的公差比较分析

（3）计算工序能力指数Cp （或Cpk）。

当分布中心与公差中心重合时，计算Cp。

式中　TU——公差上限；

TL——公差下限；

S——样本标准偏差。

当分布中心偏离公差中心时，计算Cpk。

式中　ε——中心值的绝对偏离量，

计算出工序能力指数后，根据工序能力指数值进行判断，判断工序能力是否足够（见第五章第三节工序能力与工序能力指数），以便采取相应措施进行处理。