库尔诺陈述的双头垄断问题如下：[1]如果两个竞争者各自所销售的数量分别为D1与D2，那么，所生产的总量将是D1+D2=D，并且价格为

假定没有生产费用，则两个生产者的利润分别为

因为每个人只能直接影响他自己的供给，所以，他们将根据对手提供的数量，通过将供给调整到最有利的点位，来追求利润最大化。当

第一个销售者的利润达到最大，当

第二个销售者的利润达到最大。

微分后可以得到下列方程式

根据这些，可以立刻得出结论

并且，通过相加可得到

显然，解是完全确定的，它可以变换为

对于任意数量的生产者n而言，可以得到一个类似的方程式，其一般形式为

由此得出结论，随着销售者数量的增加，p的值不断地变得越来越小。

可以将此应用于f（D1+D2）为一条直线的简单假设中，能够看到，解即前面说明中已经得出的。如果直线的方程为

且p0与D0分别为p轴与D轴上的截距，那么就有

在（1）中进行替换

就这个解来说，帕累托提出了两点异议：[2]第一，在三个变量p、D1和D2中，后两个变量是作为自变量而被选择的，因为

所以必须继续这样来处理它们。这就是说，D1f（D1+D2）与D2f（D1+D2）每个表达式既对D1又对D2求导后，必须等于零，其结果是四个方程式，

仅通过放弃（3）和（4），库尔诺就能得出了一个解。这就表明同时求解四个方程，会得到荒谬的结果。

第二，价格并不是（D1+D2）的和的函数，仅仅是两个变量的一般函数f（D1，D2）。于是，问题就成了最大化

每个表达式既对D1又对D2求导后，必须等于零，这样，我们已有的四个方程式减少为

既然现在有三个方程来确定两个未知数D1与D2，所以，问题就不能解决了。因为它“过于确定了”；扎瓦斯基也赞同这一结论。[3]

我对这两种批评都不能同意。库尔诺忽视了上文中的方程（3）和（4）并不错误；相反，将它们包括进来倒是荒谬的。只有当第一个生产者能按照他的意愿来确定对手的供给时，方程（3）才是合理的；只有当第二个生产者能按照他的意愿来确定第一个生产者的供给时，方程（4）才是合理的。的确，扎瓦斯基正是用这种方式陈述了问题——每个生产者都能够影响双方的供给，都将会选择对各自来说最有利可图的D1和D2的值。[4]将这一点应用到我们的第一个例子中（图5），如果每个生产者都拥有这种能力，那么，他就会立刻使对手的供给成为零，从而使他自己的供给确定在OA上。根据另一个生产者的供给来分辨一个生产者的利润，就毫无意义了。当我们采取p=f（D1，D2）的形式时，这一点同样能应用到更一般的求解中。任何一个生产者对另一个生产者供给的影响，只能是间接的，要通过对他自己供给的控制来实现。所有这些都包含在库尔诺使用的两个方程（2）和（5）中。

至于第二个批评，似乎并没有任何收获，通过用f（D1，D2）来代替f（D1+D2），反倒是有很大的损失。前者只不过是后者的更一般的形式，既然后者是大家都知道的，那么最好还是继续采用。通过采用f（D1，D2），我们会发现，问题可能有一个解；通过采用f （D1+D2），我们就能得出解的本身。帕累托以“忽略了经济现象的相互依存”为理由，将f（D1+D2）的使用视为重大的错误。即使说D1与D2是相互依赖的，但这与p作为它们的和的函数也绝不相矛盾。[5]

埃莫瑟详细地处理过双垄断问题，[6]他的结论与库尔诺的结论在本质上没有什么区别。埃奇沃斯在其评论中批评他，[7]甚至提出如果埃莫瑟的著作要译成英文的话，那么有关双垄断的部分应当被删去。

G.C.埃文斯曾就这个问题作过分析，[8]像库尔诺一样，他也是通过首先考虑两个生产者，然后扩大他们的数量来展开其竞争理论的。他依次采取了三个不同的假设，每个都得出了一个确定的解。既然一条二次形式的供给曲线贯穿了分析的始终，那么，结论也就包含这一函数。然而，其结论很容易与其他作者的结论以及我的简单例证作比较。

第一个假设是库尔诺的假设，结论也与库尔诺的结论相符合。第二个假设是：“每个生产者试图确定其单位时间的生产量，目的是使总利润最大”。更确切地说，使联合利润最大化。答案自然是一个垄断的结果；实际上，它被定义为“合作”。第三个假设是：“每个竞争者将价格视为固定的，并试图使其利润最大”。当价格不变时，根据每个人供给的不同，其利润是有差别的。在这个例子中，价格下降了，如果需求曲线是一条直线，那么，能够证明供给恰好是垄断条件下的两倍（参阅上文的解答，第36页，在那里，每个生产者的行动仿佛都不影响价格）。然后，在每个假设下，都提出了有n个生产者的一般性方程，并且表明当生产者的数量很大时，由第一个和第三个假设得出的结果近似相同；然而，合作导致的供给通常大约为任何一种竞争情形下的一半。

鲍雷教授提出的方程式与库尔诺的方程式惊人地相似，区别在于他将D1视为D2的一个函数。[9]他为形状是一条直线的需求曲线假定了一个明确的函数

同时增加了供给线，p1=l1D1与p2=l2D2。第一个销售者为了使

最大而变化D1。

第二个生产者为了使

最大而变化D2。就第一个销售者来说，对D1求导；就第二个销售者来说，对D2求导。这样可以得到两个方程式

结论是除非D1是D2的一个函数，否则方程就无法求解，“这取决于每个生产者认为另一生产者可能去做什么”。我们首先注意到，如果不考虑后一个条件，那么，方程的解就是确定的，实际上也正是库尔诺的解。与我自己前面的例证相比较，如果l1与l2等于零（取消生产成本），则两个方程式会得出常见的结果

为D轴上的截距。(www.daowen.com)

现在要问后一个条件的意义是什么呢?我是很犹豫地作出解释的。当有关“每个生产者认为另一生产者可能去做什么”这一不确定性消除后，所得到的解正是库尔诺的解；看来这似乎不可能将它解释为库尔诺提出的问题限度之外的不确定性因素。当库尔诺想象两个销售者的行为时，D1显然不是D2的一个函数。每个人都知道对手向市场提供的数量，并因此调整他自己的数量，而另一个人的数量则保持不变［一个人提供的数量依赖于另一个人提供的数量，这一事实用方程式p=f（D1+D2）来表示，它本身并没有使D1和D2彼此成为函数］。但是，如果两个人都不知道对手提供的数量，那么，他将不知道他自己该提供多少。于是，D1和D2彼此成为函数，问题也就无法得到解决。这就等于说，两个人可能不确定地彼此相视而立，每个人都在等待另一个人开始行动。然而，一旦一个人开始供给，那么，D1与D2就不再成为彼此的函数，后一个条件也就没有用了，并且价格将运动至其确定的位置上。如果这种解释是正确的话，那么，库尔诺与鲍雷之间的区别将是轻微的。

图34

霍特理教授在产品不被标准化的假设下，为双垄断提供了一个有独创性的数学解答。[10]他坚决认可这一观点，即“市场一般被细分为各种区域，在每个区域中，任何一个销售者都有其准垄断地位”，并主张这一因素给双垄断不确定的解答中加入了稳定性。“随着商人们价格的独立变化，顾客逐渐地从一个商人那里转移到另一个商人那里，而这正是这种转移的渐进性”，他说，“这被库尔诺、埃莫瑟以及埃奇沃斯在他们所设计的例子中忽略了。在他们的设计中，如下假设是含蓄的，即所有的购买者都与商品最便宜的销售者做生意，这将导致一种不稳定性，当每个销售者所销售的数量，被视为价格差异的一个连续函数时，这种不稳定性就消失了”。[11]

他考虑了一个例子，例子中假定购买者“沿着一条长度为l的线均匀地分布，这条线可能是某个城镇中的主街，或者是一条横穿大陆的铁路线。在分别与这条线的两个端点距离a和b的位置上，是A和B的经营地点（图34）。每个购买者以每单位距离c的成本，将其买来的东西运回家。为了不影响结论的一般性，我们假定A与B的生产成本为零，并且在每单位时间、每单位线路的长度内消费单位数量的商品。因此，需求极端无弹性。除了价格以及运输成本的理由之外，顾客对每个销售者都没有任何的偏好。一般来说，会有很多理由使得某些特定阶层的购买者偏好一个销售者胜过另一个，但是，这一考虑在此统统用运输成本来表示。A的价格用p1表示，B的价格用p2表示，并且令q1与q2分别表示各自所销售的数量……

“两个企业家所服务的区域，它们之间的分界点取决于如下条件，即在该位置上一个人向A购买还是向B购买是无差异的。如果使包括运费的价格相等，那么，我们会得到

x与y之间的另一个方程式是

解方程组，我们得到

所以，利润为

“……每个竞争者都要根据另一价格的现有值来调整他的价格，目的是使他自己的利润最大化。这就得出了如下方程式

由此得出

以及

“于是，求解π1函数与π2函数最大值的充分条件，显然也得到了满足。”

假如我们选定l=35，a=4，b=1，c=1，那么，在这个具体的例子中，将这些值代入方程式，就可以得到

然而，结果的确定并不像假设的那样，应归于“顾客逐渐地从一个商人那里转移到另一个商人那里”，这种转移在例子中是用c，即运输成本来表示的。如果将c设定为零，那么，价格仍然是可以确定的——此时为零，因为没有成本。通过竞争性削价，价格可以降低到那一点且保持在那一点上，因为如果任何一个销售者再次提高其价格的话，那么，他就会把整个市场让给对手（霍特理使用的方程式不能用来表明这一点，因为只有在c≠0的情形下，方程式才是正确的）。如果问题的其他假设保持不变，尤其是这两个假设：第一，“每个竞争者都要根据另一价格的现有值来调整他的价格，目的是使他自己的利润最大”，以及第二，每个销售者都能够单独供给整个市场，那么，这就是问题的答案。从第3章中可以明显地看到，第一个假设将问题限定在几种可能性的唯一一种上；至于第二个假设，尽管霍特理没有清楚地提到，但就其结论来看，这一假设是必然的。的确，正像下面所要说明的那样，这是他确定解的关键。

让我们为每个销售者假定一个低于35的最大产量，比如说20，同时保留想象中至关重要的因素c来观察结果。在“均衡”条件下，B获利578。但是，如果他将价格从34提高到50，那么，他能销售15个单位，获得利润750，因为在任何情况下，A的销售量都不能超过20。既然上述例子中假定需求是完全无弹性的，那么，这种变动的上限将是无穷大的。然而，如果需求被视为有弹性的，则上限就是有限的，并且，摆动将会按照埃奇沃斯描述的熟知方式，发生在这一上限与一个较低的限度之间。[12]应当注意，在埃奇沃斯所举的例子中，每个销售者的有限产量对他的论点来说都是至关重要的［参阅上文，第37页及其后，特别是下面这段陈述：“他不必担心对手的竞争，因为对手已经做了最坏的事，即把全部供给提供给了市场。”同时参阅第43页的论点：“……如果任何一个人单独能够供给OB，甚至更多，而另一个人一旦将价格制定得高于零，那么就会立刻完全被排除出市场。因此，价格将会在纯粹竞争的水平上（在我们的例子中为零）得到稳定”］。这样一来，看上去正是每个销售者无限的供给，形成了例子中的稳定性。霍特理将稳定性归因于产品差别化的事实，这种论点是无效的。

产品差别化提高了有可能不确定的下限，从这一意义上说，它的确有利于增强稳定性。埃奇沃斯观察到，“随着商品之间相关性程度的减小，不确定程度减小了”。[13]从霍特理的方程式中，以及本书上文第101页的论点中，也能明显地看到这一点。

最后，要提到J.廷伯根（“对需求曲线的决定与解释的举例”，载于《国民经济杂志》，第一卷，第5期，第676页），他遵循库尔诺的观点提出了一个统计例证。

[1]见本书前文第33页。

[2]参见：“数理经济”，载于《数学百科全书》，第一版，第四卷，1911年，第606页注释；《政治经济学大纲》，第595～602页。前者包含了对库尔诺详细而精确的批评。

[3]参阅：《政治经济学的数理应用》，第68～75页。

[4]同①，第73页。

[5]参阅下文鲍雷的解答。
埃里克·斯奈德（“各种垄断，特别是双垄断理论的研究”，载于《社会科学与社会政策文献》，第六十三卷，第3期，1930年，第539～555页；以及第六十四卷，第2期，1930年，第380页），也批评了帕累托的论点。他以帕累托忽视了它们之间的相互依赖为理由反对他的论点，同时为库尔诺（和维克塞尔）辩护。在另一篇论文中（“垄断理论的三个问题”，载于《国民经济杂志》，第二卷，第3期，1931年，第382页），他沿着库尔诺的线路，揭示了一个特别的例子。

[6]参阅：《数理经济学》，1921年，第258页及其后。同时参阅最近的一篇论文：“对统计曲线的建议”，载于《经济学人杂志》，第七十卷，1930年，特别是第11～20页。

[7]参阅：《经济学杂志》，第三十二卷，1922年，第400页。

[8]参阅：“竞争的简单理论”，载于《美国数学月刊》，第二十九卷，1922年，第371页。同时参阅他的《经济学的数学导论》，1930年，第3章。C.F.罗斯（“竞争的数学原理”，载于《美国数学杂志》，第四十七卷，1925年，第163页）介绍了理论的动态发展。

[9]参阅：《经济学的数学基础》，1924年，第38页。

[10]参阅：“竞争中的稳定性”，载于《经济学杂志》，第四十一卷，1929年3月，第41页。霍特理的论文比我本人关于双垄断一章（包括这一附录）的首次发表，早了几个月的时间，我的这一章是作为论文发表在《经济学季刊杂志》上（1929年11月）的。在我的论文中并没有提到它，因为我在论文中始终遵循着标准化产品的假设，并且它似乎与本书另一部分所讨论的某种状态的问题有关（参阅上文，第104～108页）。现在将它包含在这一要点中，是因为该论点涉及数学。

[11]同①，第44页。

[12]事实上，霍特理也为其确定的解答作了限定，他指出：“在相当多的时候，除了均衡点的坐标外，也可能得到其他价格。”但是，他似乎只默认价格保持在均衡点之上，同时却说这种认识是“臭名远扬的和缺乏说服力的”。

[13]参阅：《政治经济论文选》，第一卷，第121页。