一、一次性收付款项的计算

（一）单利的终值和现值的计算

1.单利的终值

例2-1小张于今年1月1日将1元存入银行，年利率为10%，从第一年到第三年，各年年末的终值计算如下：

第1年年末的终值：1+1×10%=1×（1+1×10%）=1.1（元）

第2年年末的终值：1+1×10%+1×10%=1×（1+2×10%）=1.2（元）

第3年年末的终值：1+1×10%+1×10%+1×10%=1×（1+3×10%）=1.3（元）

因此，单利终值的一般计算公式如下：

F=P（1+i×n）=P+I

2.单利的现值

由于单利现值和单利终值互为逆运算，因此计算公式如下：

P=F/（1+i·n）

例2-2小张欲于第三年年末从银行取得1元的收入，年利率为10%，则从第一年年初应存多少钱？

解：P=F/（1+i·n）=1/（1+10%·3）=0.7692（元）

（二）复利的终值和现值的计算

1.复利的终值

复利终值是指若干时期后包括本金和利息在内的未来价值，即是本利和。

复利终值的计算公式推导如下：

1年后的终值：F=P+P×i=P（1+i）

2年后的终值：P=[P（1+i）]×（1+i）=P×（1+i）2

3年后的终值：[P×（1+i）2]×（1+i）=P×（1+i）3

同理可推，第n年后的终值：F=P×（1+i）n

上式是复利终值的一般计算公式，其中（1+i） n称为复利终值系数或者1元的复利终值，用符号（F/P，i，n）表示。例如：（F/P，10%，3）表示利率为10%，期数为3的复利终值系数。

例2-3张先生把闲置的100000元存入银行，若银行利率为10%，问5年后张先生可以一次性从银行取得多少钱？

解：F=P×（1+i）n=P×（F/P，i，n）=100000×（F/P，10%，3）

=100000×1.6105=161050（元）

2.复利的现值

复利现值的计算公式可由复利终值的计算公式推导得出：

因为：F=P×（1+i）n

所以：P=F×（1+i）-n

上式中，（1+i） -n称为复利现值系数或者1元复利现值，用符号（F/P，i，n）表示。例如：（P/F，10%，3）表示利率为10%，期数为3的复利现值系数。

例2-4张先生想在5年后得到100000元购买汽车，若银行年利率为10%，问张先生现在应一次性存入多少钱？

解：P=F×（1+i）-n=F×（F/P，i，n）=100000×（P/F，10%，3）

=100000×0.6209=62090（元）

二、系列收付款项的计算

在实际生活中，除了有一次性收付款项之外，我们还经常遇到多次收付款项的情况，例如分期等额还款，分期投资等，我们把进行了多次收付的情况称为系列收付款项。而由于每次收付的款项金额可能不相等，我们把系列收款款项分为两种：第一种，收付款项的金额不相等的，叫作不等额的收付款项；第二种，每一期收付款项的金额都相等的，叫作等额的收付款项或者年金。

（一）不等额系列收付款项的终值

不等额的系列收（付）款项按照一定的时间价值计算的终值的和，称为系列收（付）款的终值。不等额系列收付款项的终值计算中，由于资金的出现没有规律，因此在计算时我们只能够把每个资金转化为复利终值，然后把每个复利终值相加得到不等额系列收付款项的终值。计算公式如下：

F=∑Pt（1+i）n-t（t≥0）

例2-5假设银行存款复利率为8%，第一年年初存款2000元，第一年年末存款5000元，第二年年末存款3000元，第三年年末存款6000元，第四年年末存款4000元，则第四年年末的本利和为多少？

解： F=∑Pt（1+i）n-t

=2000×（F/P，8%，4）+5000×（F/P，8%，3）+3000×（F/P，8%，2）+6000×（F/P，8%，1）+4000

=2000×1.3605+5000×l.2597+3000×1.1664+6000×1.08+4000

=2721+6298.5+3499.2+6480+4000

=22998.7（元）

（二）不等额系列收付款项的现值

不同时点的各次收付款项，按照一定的时间价值计算的现值之和。同不等额系列收付款项的原理一样，不等额的系列收付款项的现值也没有一成不变的公式。具体公式如下：

P=∑Ft/（1+i）n-t（t≥0）

例2-6假设银行存款年复利率为10%，某企业第一年年末需用款10000元，第二年年末需要用款20000元，第五年年末需要用款15000元，问现在应向银行存款多少才能恰好到时够用？

解：P=∑Ft/（1+i）n-t

=10000×（P/F，10%，1）+20000×（P/F，10%，2）+15000×（P/F，10%，5）

=10000×0.9091+20000×0.8264+15000×0.6209

=9091+16528+9313.5

=34932.5（元）

三、等额系列收付款项——年金

年金，是指在一定时期内每间隔相同时期等额收付的系列款项。在提及年金概念的时候，我们需要注意两个问题：一是每期的金额和间隔时间是相等的；二是期数必须两期（包括两期）以上。年金，我们可以根据发生时间的不同分为普通年金、预付年金、递延年金、永续年金四种。

（一）普通年金的终值和现值的计算

1.普通年金终值的计算

普通年金也称为后付年金，每期的金额均发生在每期期末。普通年金终值可以简称为年金终值，是指年金系列中每一笔金额在第n年年末的复利终值之和。不同之处在于：复利终值是计算一笔款项（P）的终值，年金终值是计算一系列款项（A）的终值。

假设每年年末支付相等的金额A，利率为i，期数为n。

根据复利终值的计算原理，年金终值的计算公式如下所示：

F=A+A（1+i）+A（1+i）2+…+A（1+i）n-1　①

等式两边同时乘以（1+i），可得：

F（1+i）=A（1+i）+A（1+i）2+…+A（1+i）n-1 +A（1+i）n　②

①－②，可得

i·F=A（1+i）n－A

经过整理可得：

F=A[（1+i）n－1]/i

在上式中F=A[（1+i）n－1]/i叫作年金终值系数，记作（F/A，i，n），其含义是在已知A，i和n的条件下求F所用的系数。因此，年金终值公式又可以表示成为：

F=年金×年金终值系数=4×（F/4，i，n）

例2-7小张是位热心公益事业的人，他自2010年年末起，每年都向一位家庭困难的大学生捐款，每次捐款的金额均为4000元，帮助这位大学生完成4年的大学教育。假定每年定期存款利率为10%，则小王4年所捐助的款项相当于2014年年底的本息和为多少？

解： F=A[（1+i）n－1]/i=A（F/A，i，n）

=4000×（F/A，10%，4）=4000×4.6410=18564（元）

2.年偿债基金的计算

年偿债基金是指为了在约定的未来某一时点清偿某笔到期债务或者积聚一定数额的资金而必须分次等额形成的存款准备金。同时需要注意的是存款的准备金均在每期期末存入。

由于每次存入的金额相同，而且是在每期期末存入的，可以将其看作是年金A；每次准备的存款是在未来偿还的，可以将其看作是年金终值F。由此可见，年偿债基金与年金终值互为逆运算。偿债基金的公式为

A=i/F[（1+i）n－1]

在上式中，i/F[（1+i）n－1]叫作偿债基金系数，记作（A/F，i，n），其表示的含义是在已知F，i和n的条件下计算A。观察发现，年偿债基金系数和年金终值系数互为倒数，因此，偿债基金的计算公式又可以表示为

A=年金终值CH3偿债基金系数=F×（A/F，i，n）=F/（F /A，i，n）

例2-8晓露准备在5年后存20万元购买汽车，她计划从现在起每年年末存入一笔款项。假设年利率为10%，那么她每次应存入多少钱才可以实现她的计划？

解：A= F/（A /F，i，n）= 200000/（F /A，10%，5）

　　　=200000/6.1051=32759.50（元）

3.普通年金现值的计算

普通年金现值是指将在一定时期内按照相同时间间隔在每期期末收入或者支付的相等金额折算到第一期期初的现值之和。根据复利现值的方法计算普通年金现值的公式如下：

P=A（1+i）-1+A（A+i）-2+A（A+i）-3+…+A（A+i）-n　①

①式两边同时乘以（1+i），可得：

P（1+i）=A+A（1+i）-1+A（A+i）-2+A（A+i）-3+…+A（A+i）-（n-1）　②

②－①，可得：

P·i=A[1－（1+i）-1]

整理可得：P=A[1－（1+i）-1]/i

在上式中，[1－（1+i）-1]/i叫作普通年金现值系数，记作：（P/A，i，n），其含义是在已知A，i和n的条件下求P所用的系数。因此，年金现值公式又可以表示为：

P=年金年×金现值系数=A×（P/A，i，n）

例2-9大海公司进行一项投资，项目于2010年年初动工，假设项目当年投产，从投产之日起每年年末可得收益50000元。假设年利率为8%，计算预计10年收益的现值。

解：P=A[1－（1+i）-1]/i=A×（P/A，i，n）=50000×（P/A，8%，10）

=50000×6.7101=335505（元）

4.年资本回收额

年资本回收额是指在约定年限内等额回收初始投资额或者清偿所欠债务的金额。

由于每次回收或者偿还的金额相同，而且是在每期期末发生的，可以将其视同年金A；回收的是初始投资额或债务，可以将其视同年金终值P。由此可见，年资本回收额与年金现值互为逆运算。偿债基金的公式为：

A=P·i/[1－（1+i）-n]

在上式中，i/[1－（1+i）-n]叫作年资本回收额系数，记作（A/P，i，n），其表示的含义是在已知P，i和n的条件下计算A。观察发现，年资本回收额系数和年金现值系数互为倒数，因此，资本回收额的计算公式又可以表示为：

A=年金现值×资本回收额系数=P×（A/P，i，n）=P（P/A，i，n）

例2-10某企业投资2000万元的项目，若投资报酬率为10%，则该企业在10年内每年年末要收回多少才能收回全部的投资额？

解：A=P×（A/P，i，n）=P/（P/A，i，n）=2000/（P/A，10%，10）

=2000/6.1446=325.49（万元）

（二）预付年金终值和现值的计算

预付年金又称为先付年金，是指在一定的时期内，每期期初等额的系列收付款项。

1.预付年金终值的计算

预付年金终值是指一定时期内每期期初等额收付的系列款项的终值。

预付年金终值和普通年金终值相比，计算的期数增加了1期，即是原来普通年金每期的A均需要再计算多一期的利息。因此，预付年金终值的计算公式可以在普通年金终值计算公式的基础上乘以（1+i），公式如下：

F=A[（1+i）n－1]（l+i）/i

=A{[（1+i）n－1]/i－1}

=A（F/A，i，n）（1+i）

=A[（F/A，i，n+i）－1]

例2-11陈先生为了供女儿上大学准备资金，陈先生连续10年于每年年初存入银行5000元。若银行的存款利率为5%，则陈先生在第10年年末一次性能够取出本利和为多少？

解：(www.daowen.com)

F=A（F/A，i，n）（1+i）=5000×（F/A，5%，10）×（1+5%）

=5000×12.5779×1.05=66033.98（元）

或者：

F=A[（F/A，i，n+1）－1]=5000×[（F/A，5%，10+1）－1]

=5000×[14.2068－1]=66034（元）

2.预付年金现值的计算

预付年金现值和普通年金现值相比，计算的期数减少了1期，即是原来普通年金每期的A均需要少算一期的利息。因此，预付年金现值的计算公式可以在普通年金现值计算公式的基础上乘以（1+i），公式如下：

P=A×[1－（1+n）-n]（1+i）/i

=A×{[1－（1+n）-（n-1）]/i+1}

=A×（P/A，i，n）×（1+i）

=A×[（P/A，i，n－1）+1]

例2-12 5年期的分期付款购车，每年年初付款50000元，设银行利率为4%，该项分期付款相当于现在一次性付款的买价是多少？

解： P=A（P/A，i，n） （1+i）=50000×（P/A，4%，5）×（1+4%）

=50000×4.4518×1.04=231493.6（元）

或者 P=A[（P/A，i，n－1）+1]

=50000×[（P/A，4%，5－1）+1]=50000×[3.6299+1]

=231495（元）

（三）递延年金的终值和现值的计算

递延年金又称为延期年金，是指在最初的若干期没有收付款项的情况下，后面若干期每期期末有等额的系列收付款项。它是后付年金的特殊形式，凡不是从第一期开始的后付年金都是递延年金，其中没有收付款项的m期称为递延期。

假设最初的m期没有收付款项，后面的n期有等额收付款项。

1.递延年金的终值计算

递延年金的终值与普通年金的终值计算方法是一样的，公式如下：

F=A（F/A，i，n）

注意：式中的n表示A的个数，与递延期无关。

例2-13大海企业计划入驻B商场，租赁期为5年，前两年免租金，从第三年开始每年年末付租金10万，年利率为10%，问第五年年末总租金的终值是多少？

解：F=A（F/A，i，n）=100000×（F/A，10%，3）

　　　=100000×3.3100=331000（元）

2.递延年金的现值计算

递延年金现值是指间隔一定时期后每期期末或者期初收付或者付出的系列等额款项，按照复利计息方式折算的现时价值，即是间隔一定时期后每期期末或者期初等额收付资金的复利现值之和。递延年金现值的计算方法有三种：

第一种方法：假设递延期也有年金收付，先求出（m+n）期的年金现值，再减去递延期m的年金现值，公式如下：

P=A（P/A，i，m+n）－A（P/A，i，m）

第二种方法：先把n期期初（即是m期末）视为第0期（即最开始）计算出现值，实际上这里的现值即为m期的终值，再把终值进行贴现。公式如下：

P=A（P/A，i，n）×（P/F，i，m）

第三种方法：先把n期期初（即是m期末）视为第0期（即最开始）算出终值（即第n期），实际上这里的终值即为第m+n期的终值，再把终值进行贴现。公式如下：

P=A（F/A，i，n）×（P/F，i，m+n）

例2-14某公司准备购置一处房产，付款条件是：从第7年开始，每年年初支付15万元，连续支付10次，共计150万元。假设该公司的资金成本率为10%，则相当于该公司在第1年年初一次付款的金额为多少万元？（要求：用上述的三种方法进行解题）

解：第一种方法：

15×[（P/A，10%，15）－（P/A，10%，5）]

=15×[7.6061－3.7908]=57.23（万元）

第二种方法：

15×（P/A，10%，10）×（P/F，10%，5）=15×6.1446×0.6209=57.23（万元）

第三种方法：

15×（F/A，10%，10）×（P/F，10%，15）

=15×15.9370×0.2394=57.23（万元）

（四）永续年金

永续年金是一种无期限发生的等额收付特种年金，只有起始点而没有终结点。它是普通年金在期限趋于无穷条件下的特殊形式。

由于永续年金没有终结点，因此其没有终值的计算，而只有现值的计算。由于永续年金是普通年金的特殊形式，因此其现值的公式可以根据普通年金现值的公式推导出来，公式如下

P（n→∞）= A[1－（1+n）-n]/i=A/i

例2-15高先生是一位海外华侨，他欲在某高校建立一项永久性的奖励基金，每年年末颁发20000元奖金给品学兼优的学生。假设目前银行的存款利率为10%，则高先生现在应存入多少款项才可以使该基金正常运转？

解：P=A/i=20000/10%=200000（元）

四、资金时间价值特殊问题

（一）利率i或者期数n的确定

在复利和年金的现值，终值的计算公式中，共有4个变量，F，P，i，n在前面的例子中，都是已知i，n同时已知F，P中的其中一个，求解P或者F。相反，在已知P，F时，若已知i，n的其中一个，也同样可以求解n或者i。在复利的条件下求解n或者i时，可以直接运用复利现值或者复利终值进行求解；而在年金的条件下求解n或者i时，推算比较复杂，无法直接运用年金终值或者现值进行求解，而必须利用系数表，有时还会使用内插法（也叫插值法）进行求解。

内插法一般是指数学上的直线内插，利用等比关系，用一组已知的未知函数的自变量的值和与它对应的函数值来求一种未知函数其他值的近似计算方法。

1.利率i的确定

利率的确定一般分为下面几步：

第一步：根据普通年金终值，普通年金现值的公式推出年金终值系数或者年金现值系数。

第二步：根据“年金终值系数表”或者“年金现值系数表”查找相应的利率i。

第三步：若在表中能够找到n所对应的则便是要求的利率i。

第四步：若在表中不能够找到n所对应的利率i，则在n这一行找到最接近题目系数的两个系数，再根据内插法计算所要求的利率i。

例2-16某企业第一年年初投资77.217万元购买一台设备，不需要安装调试，使用期10年，在使用期内每年为企业创造收益10万元，则该设备的投资收益率为多少？

解：根据年金现值计算公式，可得：

77.217=10×（P/A，i，10）→（P/A，i，10）=7.7217

在年金现值系数表中，在n=10这一行刚好找到系数7.7217，其所对应的i=5%便是所要求的投资收益率。

例2-17某企业第一年年初投资100万元购买一台设备，不需要安装调试，使用期5年，在使用期内每年为企业创造收益30万元，则该设备的投资收益率为多少？

解：根据年金现值计算公式，可得：

100=30（P/A，i，5）→（P/A，i，5）=3.3333

在年金现值系数表中，在n=5这一行找不到相应的系数，在这一行找到3.3333的两个最接近的系数3.3522和3.2743，得：

（P/A，15%，5）=3.3522

（P/A，i，5）=3.3333

（P/A，16%，5）=3.2743

根据以上可以判断，所求的i介于15%～16%，最后求得：i=15.24%。

2.期数n的确定

期数的推算和利率的推算原理是一样的。

例2-18陈先生现有闲置资金20000元，打算投资A项目，要求的投资报酬率为15%，则需要经过多少年后才能够增值到100000元？

解：根据年金现值公式，可得：

100000=20000×（F/P，15%，n）→（F/P，15%，n）=5

在复利终值系数表中，在i=15%这一列找不到相应的系数，在这一列找到5的两个最接近的系数4.6524和5.3503，得：

（F/P，15%，11）=4.6524

（F/P，15%，n）=5

（F/P，15%，12）=5.3503

根据以上可以判断，所求的n介于11～12，最后求得n=11.5年。

（二）短于一年的计息期

在之前的学习过程中，题目给出的利率都是年利率，但是在实际生活中一年计息的次数超过一次是常见到的情况，例如：银行之间的拆借为每天计息一次。由此，产生了实际利率和名义利率之分。

实际利率是指一年复利一次时，给出的利率。

名义利率是指一年复利的次数超过一次时，给出的年利率。把名义利率转换为实际利率公式如下：

实际利率i=（1+r/m）m－1

其中：r为名义利率，m为复利的次数。

短于一年的计息期实际上是名义利率和实际利率的换算问题。此时计算资金时间价值的方法有两种：第一种，将名义利率先调整为实际利率，再按照实际利率计算资金时间价值；第二种方法，不计算实际利率，将名义利率调整为期利率（r/m），期数调整为n×m期，再按照期利率和调整后的期数计算资金的时间价值。

例2-19大海企业存在银行的一笔资金]0万元，年利率为5%，每季度复利一次，求到第五年末的本利和是多少？

解：第一种方法：i=（1+5%/4）4－1=5.09%

F=10×（1+5.09%）5=12.82（万元）

第二种方法：F=10×（1+5%/4）4×5=12.82（万元）

（三）分期等额偿还贷款的现值计算

分期等额偿还在现实生活中应用非常广泛，如购房贷款、汽车贷款等。但是需要注意的是，每期等额偿还的金额中包括两部分：上期的应付利息和本期分摊的本金。

1.利率不变的情况下分期等额还款的计算

例2-20梁雪计划申请贷款购置汽车，与银行约定贷款金额为15万元，期限5年，贷款期间内，每年年末银行从梁雪的银行账户中扣款。假设银行规定的贷款利率为6%，梁雪每年年末应偿还多少贷款？每期偿还的贷款本金和利息各是多少？

解：已知P=15，n=5，i=6%，求A

A=P/（P/A，6%，5）

=15/（P/4，6%，5）

=15/4.2124=35609.15（元）

第1年度：利息=150000×6%=9000（元）

本金偿还额=35609.15－9000=26609.15（元）

贷款余额=150000－26609.15=123309.85（元）

其他的如此类推。

2.利率变动的情况下分期等额还款的计算

由于经济环境和资金市场的变动等因素，市场利率会发生变动，在利率变动的情况下如何正确地确定资金时间价值成了至关重要的问题。解决这一问题的关键是不管在何时点利率发生的变化，未偿还的本金不会发生变动。

例2-21大海公司于2003年1月1日向银行借入100万元，10年期可变利率的贷款，合同中规定从2003年12月31日起按年度在每年年末等额还本付息，贷款年利率5%，但在2008年年底银行宣布调整年贷款利率按8%计算，问：从2009年年末起大海公司每年年末应偿还多少金额？

解析：在该例中，无论利率如何变动，大海公司借入本金100万元，不会随着利率的调动而改变总额。只是，在2003年1月1日时大海公司并没有想到2008年年底银行会调动利率，因此大海公司期初会按照利率5%计算每年年底应偿还的金额。在每次偿还的金额中既包括本金也包括利息。到2008年年底大海公司应偿还了银行一部分的本金，而剩下未偿还的本金则需要在利率8%的情况下偿还，但是，未偿还的本金总额不管在5%还是在8%的情况下都是相等的。

解：2003～2008年偿还的金额为：

100=A×（P/4，5%，10），可得：A=12.9505（万元）

在2008年年底大海公司为偿还的本金余额=12.9505×（P/A，5%，4）=45.9225（万元）

设2009年年底～2012年底每年偿还的金额为B，则：

B×（P/A，8%，4）=45.9225，可得：B=13.8651（万元）