一、TFP指数测算模型

根据定义，全要素生产率是全部产出组合相对全部投入组合的比值，于是有：

公式（1）中，A代表全要素生产率，Y代表产出，X代表投入。分别以 A·、Y·、X·表示全要素生产率、产出和投入对时间的微分，并对公式（1）两边同时取对数，则有：

假定生产函数规模报酬不变且要素报酬等于其边际产出，根据迪维西亚指数定义可得：

公式（3）中的w_i和v_j分别代表各类产出和要素投入在总价值中所占的份额，且满足。仅考虑资本和劳动两种要素，可简化公式（3）并拓展到各部门：

公式（4）、（5）中的β表示劳动产出弹性，或劳动投入在总投入（价值）中所占的份额。

二、TFP指数分解模型

将各产业部门资本投入、劳动投入占总投入比重分别设定为s，各产业部门要素投入变化情况和总产出增长率可以表示为：

同理，可得到

将公式（5）、（6-1）、（6-2）代入公式（7）可得：

将公式（9）进一步整理：

公式（10）右边可以分为三个部分，

其中，φ₁大致反映了各行业技术变化情况，是各行业技术进步的加权值，代表宏观TFP增长的技术效应。φ₂、φ₃分别反映了资本和劳动要素在各行业间的流动情况，即要素资源配置的结构变化。φ₂、φ₃为正表明更多份额的要素被配置到边际产出较高（或者说效率更高）的行业，φ₂、φ₃为负则表明更多份额的要素被配置到边际产出较低的行业。不妨将φ₂、φ₃分别称为“资本要素结构效应”和“劳动要素结构效应”，φ₂、φ₃代表了宏观TFP增长的整体结构效应，是资本要素和劳动要素重新配置后的共同结果。公式（10）也可简化为公式（14）。

三、要素投入估算模型(www.daowen.com)

本章在乔根森增长核算框架下估算要素投入。由于资本要素参与到生产中的是资本服务，在测算中要考虑固定资本形成、生产能力变化（衰减）和退役（报废）情况。根据OECD（2009）采用双曲线年限—效率模型刻画存量资本生产能力变化，用对数正态分布来刻画其退役模式。

公式（15）和（16）中，T为资本的（最大）服务年限（或“退役年龄”，retirement age），n为当前年份，而参数b≤1则决定了函数的形状。公式（16）表示资本服务年限的分布遵循对数正态分布，σ和μ分别是对数正态分布函数的标准差和均值，σ=ln（1 +（m/ s）^-2）、μ= lnm -0. 5σ²。其中，m和s是对数正态分布背后正态分布的均值和标准差，m代表资本的平均服务年限，s的取值范围一般为[m/4，m/2]，取值越大分布就越陡峭。生产能力变化模式及退役模式设定后，采用永续盘存法便可估算出i类存量资本在t时点的“生产性资本存量”，本文假设该类资本价格（或用户成本）均为1，所以“生产性资本存量”等同于资本要素投入的价值：

生产能力变化模式及退役模式设定后，采用永续盘存法便可估算出i类存量资本在t时点的“生产性资本存量”；确定该类资本价格（或用户成本），二者相乘便得到资本要素投入（的价值）：其中，K^P _i，t为t期第i类资本的生产性资本存量，h_i，τ和F_i，τ则分别为第i类资本的年限—效率模式和退役模式。

根据受教育年限等特征，将劳动者进行分类，并以劳动小时为单位衡量投入数量；不同类型劳动要素投入可用其在总劳动报酬中所占份额作为权重进行加总。据此，将劳动要素投入增长表示为：

其中，L为总劳动投入；L_i为不同产业的劳动投入，表现为劳动小时数；p_i为第i产业劳动投入的价格，如小时工资；v_i为第i产业劳动报酬所占的份额。

四、关键参数的测度

劳动产出弹性与资本产出弹性是所有TFP核算中的关键参数，得到两个参数的值通常有三种方法：

一是假设市场出清条件下要素按边际产出参与分配，即单位回报等于其边际产出，据此可以得出要素的产出弹性公式，，其中，f^L_i

为行业i的劳动边际产出，于是有：。φ₂、φ₃核算遵从公式（12）、（13）。

二是通过对具体的经济增长方程进行有约束条件的回归，通常假定两个参数之和为1，即假设不存在规模经济，由此得到两个参数值。

三是根据已有的研究经验，人为地设定劳动、资本的产出弹性值，通常分别对应取值0. 4、0. 6。

本章对以上三种路径均进行了数据试算，最后选择第一方法，因为它具有坚实的逻辑推导脉络，并且最后的模拟效果相对较好。由于本研究三次产业数据区间为1991—2016、第二三产业细分行业的数据区间为2005—2016，数据长度较短，不能适用第二种方法。第三种核算办法过于刻板，无法体现不同产业与行业的行业特征，本研究只有在个别第一种核算方法失效的情况下，才采用第三种方法加以补充。