南昌大学贾仁安教授及其研究小组于1998年创立了流率基本入树建模法［114］，该方法以还原论思想为指导，将图论中生成树理论应用于动态复杂系统的反馈结构分析。此方法将所研究的整个系统按研究目的划分为一个个系统，然后设定每个子系统内部的流位、流率、辅助变量，抓住系统反馈结构变量中最基本的流率变量，用一组以流率变量为根的树模型来刻画系统内各变量之间的因果关系，最后通过引入嵌运算构建系统网络存量流量图。流率基本入树建模法有两大好处。

（1）有利于分部分、分子系统进行规范化建模，提高线段性思考的集中度与精确度；有利于用整体论与还原论相结合的思想方法对问题进行有效研究，有利于仿真方程的建立。

（2）为利用代数的方法研究动态反馈复杂性系统问题提供了可能性。有了流率基本入树模型，通过将入树的枝转化为枝向量，构造枝向量行列式、枝向量矩阵，就可利用代数方法进行系统的动态反馈复杂性分析，从而实现图论与线性代数在研究系统反馈动态复杂性问题中的结合。

2.3.3.1　流率基本入树建模法的基本概念

定义1：若t∈T，一个动态有向图T（t）=［V（t），X（t）］中，存在一个点v（t）∈V（t），使T（t）中的任何一点u（t）∈V（t），有且仅有一条由u（t）至v（t）的有向道路，则此有向图T（t）称为一棵入树，且v（t）称为树根，满足入度d-u（t）=0的u（t）称为树尾，从树根至树尾的一条有向道路称为一根树枝［114］。

定义2：在系统动力学存量流量图中，以流率为树根、以流位为树尾的入树T（t）称为流率入树。流率入树T（t）中含流位的个数称为入树的阶数，从树尾沿一枝至树根所含流位的个数称为这枝的枝阶长度。流率入树最大枝阶长度称为该入树的阶长度［114］。

定义3：各枝阶长度为1的流率入树称为流率基本入树［114］。

定义4：不真包含在任何其他流率基本入树的流率基本入树称为极大流率基本入树［114］。

定义5：存量流量图中任何一个子图称为半子存量图，满足含流位L（t）有其流率R（t）［或流出率R1（t）或流入率R2（t）］的半子存时流量图称为子存量流量图［114］。

定义6：已知t∈T，半子存量流量图G1（t）=［Q1（t），E1（t），F1（t）］，G2（t）=［Q2（t），E2（t），F2（t）］，则：

（1）作G1（t）∪G2（t）且保持F1（t）和F2（t）确定的映射关系。

（2）若流率RP（t）及其对应的流位Lp（t）在Gi（t）（i=1，2）中，则在（1）的基础上再增加一条弧，构成因果链：RP（t）→Lp（t），同时给出实际意义下的因果链极性。

由（1）和（2）所得到一个新的半子存量流量图G（t），定义这种运算为嵌运算，嵌运算记为→U，则G（t）=G1（t）→UG2（t）。

嵌运算满足以下性质：(www.daowen.com)

交换律：G1（t）→UG2（t）＝G2（t）→UG1（t）。

结合律：G1（t）→UG2（t）→UG3（t）＝（G1（t）→UG2（t））→UG3（t）。

2.3.3.2　流率基本入树建模法的建模步骤

在引入上述基本概念的基础上，给出流率基本入树建模法的基本步骤［114］。

步骤1：通过系统分析，建立流位流率系：

｛［L1（t），R1（t）］［L2（t），R2（t）］，…，［Ln（t），Rn（t）］｝。

步骤2：分别建立以流率变量Ri（t）为根、以流位变量Lj（t）为尾的，且流位变量直接或通过辅助变量控制流率变量的流率基本入树，可得图2.6所示的流率基本入树模型。

图2.6中Aij（t），Bij（t）（其中i，j=1，2，…，n）可能是多个辅助变量构成的有向链。

步骤3：对这些基本入树模型T1（t），T2（t）…Tn（t），作嵌运算，即顶点与顶点并，弧与弧并，流率与对应流位相连，则可得流位流率系下的存量流量图模型。

图2.6　流率基本入树模型

建立流率基本入树和直接建立存量流量图模型是建立系统结构模型的两个等价方法。

同一流位流率系下的网络存量流量图G（t）与流率基本入树模型T1（t），T2（t）…Tn（t）具有当且仅当关系。即在同一流位流率系下，由网络存量流量图G（t）分解可得入树模型T1（t），T2（t）…Tn（t），由入树模型T1（t），T2（t）…Tn（t），可得网络存量流量图G（t）。