证明：
政府的优化问题为：
当可变成本函数是线性成本函数形式时，ε=1，即 c(qi)=cqi，c 是常数，政府优化问题的一阶条件得到：
当可变成本函数是线性成本函数形式时，ε=1，即 c(qi)=cqi，c 是常数，政府优化问题的一阶条件得到：
联立上述方程组中的两个一阶条件，得到：
联立上述方程组中的两个一阶条件，得到：
根据上式可以得到：
根据上式可以得到：
令β=1，假设解是连续的，那么我们回到单一产品的寡头垄断模型，重复上述的帕累托最优的求解过程。
政府的优化问题为：
令β=1，假设解是连续的，那么我们回到单一产品的寡头垄断模型，重复上述的帕累托最优的求解过程。
政府的优化问题为：
当可变成本函数是线性成本函数形式时，ε=1，即 c(qi)=cqi，c 是常数，政府优化问题的一阶条件得到：
当可变成本函数是线性成本函数形式时，ε=1，即 c(qi)=cqi，c 是常数，政府优化问题的一阶条件得到：
事实上，这一点很多学者的研究也都注意到，我们以Spence（1976）和Dixit 和Stiglitz（1977）使用的S-D-S 模型为例，再次证明这一观点的普适性。
对于S-D-S 模型，代表性消费者的优化问题为效用最大化：
事实上，这一点很多学者的研究也都注意到，我们以Spence（1976）和Dixit 和Stiglitz（1977）使用的S-D-S 模型为例，再次证明这一观点的普适性。
对于S-D-S 模型，代表性消费者的优化问题为效用最大化：
此时得到，当σ→∞时（对应本章节模型中β→1 的情形），ne=1，nFB=0。
我们提出相似的问题：当σ→∞时，是不是就是第3 章得到的单个产品的寡头垄断模型呢？S-D-S 的模型是否可以收敛呢？答案是否定的，证明如下：
我们考虑S-D-S 模型的特例，代表性消费者问题如下：
此时得到，当σ→∞时（对应本章节模型中β→1 的情形），ne=1，nFB=0。(www.daowen.com)
我们提出相似的问题：当σ→∞时，是不是就是第3 章得到的单个产品的寡头垄断模型呢？S-D-S 的模型是否可以收敛呢？答案是否定的，证明如下：
我们考虑S-D-S 模型的特例，代表性消费者问题如下：
对于上式，容易证明约束条件一定是紧约束，之后我们将约束条件代入优化问题，有：
对于上式，容易证明约束条件一定是紧约束，之后我们将约束条件代入优化问题，有：
优化问题的一阶条件可以得到：
优化问题的一阶条件可以得到：
由企业自由进入的零利润条件得到：
由企业自由进入的零利润条件得到：
但是当σ→∞时，我们并不是回到单个产品的寡头垄断模型，而是模型失去了部分垄断性。
对于S-D-S 模型，代表性消费者优化问题如（4-18）所示。由于古诺模型强调的是企业的行为，所以我们关注于生产者的优化问题。
但是当σ→∞时，我们并不是回到单个产品的寡头垄断模型，而是模型失去了部分垄断性。
对于S-D-S 模型，代表性消费者优化问题如（4-18）所示。由于古诺模型强调的是企业的行为，所以我们关注于生产者的优化问题。
需要指出的是，S-D-S 模型在这个环节做了简化处理，假设企业数量n 比较大。因为当n 比较大的时候，可以认为pi不影响p~，从而qi对pi求导时可以将p~ 视为不变，求导得到ηi=σ。但是，我们需要指出，当企业数量n 比较小的时候，pi应该是会影响p~ 的，此时计算的需求弹性将不再是常数，而是自身产品价格和其他企业产品价格的函数。从另一个角度理解，这里涉及这样一个问题：当企业i 增加单位产出时，它会认为其他企业的产出会相应地缩减单位产出（从而总产出保持不变），还是会保持不变（从而总产出增加1 单位），抑或介于二者之间？Koenker 和Perry（1981）就对Bellef lamme 和Peitz（2010）中的完全垄断竞争假设提出了质疑，并提出了不完全垄断竞争的观点[2]。相应的，Yang 和Heijdra（1993）对这一问题也提出了批判，Dixit 和Stiglitz（1993）、Church 和Ware（2000）的研究中均对此问题有所提及。
完整的基于寡头垄断模型的计算过程如下：
需要指出的是，S-D-S 模型在这个环节做了简化处理，假设企业数量n 比较大。因为当n 比较大的时候，可以认为pi不影响p~，从而qi对pi求导时可以将p~ 视为不变，求导得到ηi=σ。但是，我们需要指出，当企业数量n 比较小的时候，pi应该是会影响p~ 的，此时计算的需求弹性将不再是常数，而是自身产品价格和其他企业产品价格的函数。从另一个角度理解，这里涉及这样一个问题：当企业i 增加单位产出时，它会认为其他企业的产出会相应地缩减单位产出（从而总产出保持不变），还是会保持不变（从而总产出增加1 单位），抑或介于二者之间？Koenker 和Perry（1981）就对Bellef lamme 和Peitz（2010）中的完全垄断竞争假设提出了质疑，并提出了不完全垄断竞争的观点[2]。相应的，Yang 和Heijdra（1993）对这一问题也提出了批判，Dixit 和Stiglitz（1993）、Church 和Ware（2000）的研究中均对此问题有所提及。
完整的基于寡头垄断模型的计算过程如下：
相应地，S-D-S 的垄断竞争模型下的计算过程如下：
相应地，S-D-S 的垄断竞争模型下的计算过程如下：
证毕□
证毕□
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