层次分析法[85-87](Analytic Hierarchy Process,AHP)是美国运筹学家、匹兹堡大学Saaty教授在20世纪70年代初期提出的。AHP是对定性问题进行定量分析的一种简便、灵活而又实用的多准则决策方法。它根据问题的性质和要达到的总目标,将问题分解成不同的组成因素,并按照因素之间的相互关联影响以及隶属关系将因素按照不同的层次聚集组合,形成一个多层次的分析结构模型,从而将无结构复杂系统结构化,把问题归结为最底层(供决策的方案、措施等)相对于最高层(总目标)的相对重要权重值的确定或相对优劣次序的排定。通过层次内两两比较和层次间权重能够解决多因素、主观判断的不可测度问题,实现定性和定量相结合,并通过一致性检验一定程度上解决主观判断的可靠性问题,提高主观决策过程的科学性,是分析多目标、多因素、多准则复杂大系统的有力工具[88]。

1)层次分析法的优点[89-90]

(1)系统化的分析方法

层次分析法通过把研究对象视作一个系统,依照目标分解、相互比较、加权综合的思维模式进行决策,是系统分析的重要工具。系统化的思想在于各个因素对最终结果的影响是连续的,在层次分析法中,最终的结果是由每一个层次的相对权重加权综合得到的,而且最终方案层对目标层的相对权重是经过量化的,非常清晰和明确。这种方法尤其适用对无明显结构特性的系统进行评价以及对多段时期、多个目标和多个准则等系统的评价。

(2)方便实用的决策方法

层次分析法是将定性方法与定量方法有机结合起来的评价方法,既不片面地追求高深的数学逻辑,又不单纯地注重主观行为、意识判断。层次分析法通过建立较为复杂的多层次结构,从而使人们的思维过程系统化和数学化,以便于人们更容易接受。同时,通过同层次因素间的两两比较确定其相对于上一层次元素的相对权重,把多个目标、多个准则而且难以经过量化处理的决策问题转化为单目标多层次问题,然后进行较为简单的数学运算,得到各方案相对于总目标的相对权重,权重越高,越接近目标。权重最高的方案即为最优方案。运用层次分析法进行评价的整个过程简单明确,容易被使用者掌握。

(3)所需要的定量数据较少

层次分析法相对于一般的定量方法而言,更注重定性的判断和分析。它所需要的数据主要来自评价者对问题本质的理解和认识,来自评价者的工作经验。层次分析法模拟实际中人脑在决策过程中的思维模式,建立多层次结构,通过判断矩阵的构造,分析得出各方案对目标的相对权重。利用这种分析模式,能解决许多需要严格数据支持的最优化方法所不能解决的实际问题。

2)层次分析法的基本步骤和方法

(1)明确问题

采用层次分析法对系统进行分析时,首先要在对系统充分认识的基础上确定系统的总目标,然后明晰系统所包含的因素或指标,并把系统中具有共同属性的要素,合成一个组,把它们之间的共同特性看成系统的同一层次,并厘清它们之间的关联作用、隶属关系等。

(2)建立多级递阶层次结构

通过对问题的进一步分析,把问题中的各个因素按性质分层次排列,形成决策目标的层次分解图,如图4.1所示。最上层是目标层,是系统的目标;第二层是准则层,排列了衡量是否达到目标的各项准则,如果有子准则,可在准则下面设置子准则层;最后是方案层,表示所要选用的解决系统问题的各种方案、政策。通过将多目标、多因素、多准则的无结构复杂问题分解为若干层次,并按照各个层次之间的关系建立自上而下的递阶结构关系,得到研究的指标体系。

(3)构造判断矩阵

建立层次结构之后,将准则层和指标层的因素分别两两比较,确定它们对上一层因素的相对重要程度。假定两两比较的因素为n个,则构造判断矩阵B为

图4.1　决策目标的层次分解图

式中　bij(i=1,2,…,n;j=1,2,…,n)——bi相对于bj的重要对比系数,它的值由1～9的分级标准结合专家意见赋值确定。1～9标度及其定义见表4.1。

表4.1　因子相对重要性标度

(4)层次单排序

在建立了判断矩阵以后,要根据判断矩阵计算相对于上一层某因素而言本层所有因素重要性次序的权重值,即进行层次单排序。它可归结为计算判断矩阵的特征根和特征向量问题,即对判断矩阵B,计算满足

式中　λmax——判断矩阵B的最大特征根;

W——对应于λmax的正规化特征向量,W的分量Wi就是对应元素单排序的权重值。

AHP法最根本的是求出判断矩阵的特征根及特征向量。特征向量的求法可采用幂乘法、方根法或规范列平均法。一般采用方根法进行求解。其具体计算过程如下:

①计算判断矩阵每一行元素的乘积

②计算Mi的n次方根(www.daowen.com)

③将向量W=[W1,W2,…,Wn]T归一化,则W=[W1,W2,…,Wn]T为所求的特征向量。

④计算判断矩阵的最大特征根

式中　(AW)i——向量AW的第i个元素。

(5)一致性检验

由于单排序工作是建立在判断矩阵之上的,而判断矩阵是建立在两两比较进行评分的基础上,则两两评分理论上应具有客观上的一致性,但因客观事物的复杂性,人们的认识片面性。因此,判断矩阵一般不具备完全一致性,也不能有太大偏离,故只有通过检验,才能说明判断矩阵在逻辑上是否合理,也才能继续对结果进行分析。

对判断矩阵进行一致性检验的公式为

式中　Rc——一致性比例;

Ic——一致性指标;

IR——随机一致性指标;

λmax——判断矩阵的最大特征根;

n——成对比较因子的个数。

一般来说,当Rc<0时,则认为判断矩阵具有令人满意的一致性;当Rc≥0.1时,则要调整判断矩阵,直至满意为止。

上述公式中随机一致性指标IR是通过对随机构成的不同阶数判断矩阵的模拟(样本大小:500)得到的数值,见表4.2。

表4.2　随机一致性指标数值

另外,公式中的最大特征值λmax可在特征向量W求得后计算得出,公式为

式中　(BW)i——向量BW的第i个分量;

Wi——向量W的第i个分量。

(6)层次总排序

完成层次单排序后,则可利用层次单排序的结果,计算某层所有因素对总体目标相对重要性的权重值,即进行层次总排序。这种排序是从最高层到最低层逐层顺序进行的。对于最高层而言,其层次单排序的结果也就是总排序的结果。假如上一层的层次总排序已完成,元素A1,A2,…,Am得到的权重值分别为a1,a2,…,am;与Aj对应的本层次元素B1,B2,…,Bn的层次单排序结果为

若Bi与Aj无联系,bj i=0;那么,B层次的总排序结果见表4.3。

表4.3　B层次的总排序结果

层次总排序也需要进行一致性检验,其检验标准与层次单排序相同。如果检验通过,则可按照组合权重值进行决策,否则需要重新考虑模型或重新构造比较矩阵。