计算中等收入群体的比重，第一步是计算收入水平与收入等级之间的函数关系，由于收入分配的不均等性，收入等级越高，收入增长的速度就越快。因此，采用指数函数的方式拟合收入水平和收入等级的关系，基本假设方程如下：

y=δeθrank

(1)

其中y代表收入，rank代表收入等级，rank∈(0,1)，比如说当rank=0.35时，y即为全样本中，收入排序从低到高第35%的人的收入；同样当rank=0.5时，y即为样本的中位数。δ代表截距，即最低收入者的理论收入。θ代表随着收入等级的提高，收入的增长速度。

将(1)式两边取对数可得：

ln(y)=θrank+ln(δ)

(2)

(2)式即为收入水平与收入等级之间的拟合方程。如果将五等分数据取对数带入ln(y)，根据五等分定义，rank分别取(0.1, 0.3, 0.5, 0.7, 0.9)。如果将七等分数据取对数带入ln(y)，根据七等分定义，rank分别取(0.05, 0.15, 0.3, 0.5, 0.7, 0.85, 0.95)。

对(2)求解拟合方程，根据极大似然法确定θ*和δ*。即

(3)

假定中等收入群体的收入范围应当在人均养老保险支出(AP)的α倍到β倍之间。其中α是下限倍数，β是上限倍数。因此，中等收入群体的上下限边界收入等级应为：

(4)

(5)

其中rankL代表中等收入群体的下界，rankH代表中等收入群体的上界。将(5)式减去(4)式即为中等收入群体占比。(www.daowen.com)

作为对比，引入绝对收入法和相对收入法作为中等收入群体测算方法的参照。此时，以绝对收入法而言，如果用购买力平价的M， N收入作为中等收入的下限和上限，各年份收入按CPI平减。此时，中等收入群体占比的计算方式为：

(6)

同样，如果用相对中位数medium的P， Q倍作为中等收入的下限和上限，此时，中等收入群体占比的测算公式为：

(7)

图6.1　收入水平和收入等级拟合曲线(单位：元)

如图6.1所示，X轴为收入等级rank， Y轴为收入水平y。柱状图显示的是北京市城乡居民2016年五等分组的收入情况。其中最低收入组的平均收入为20 204元，即显示为0～0.2收入等级的居民平均收入为20 204元，中低收入组的平均收入为36 277元，即0.2～0.4收入等级的居民平均收入为36 277元，依次类推。将5个分组的平均收入(20 204， 36 277， 49 342， 65 555， 105 425)代入y，将5个分组的平均收入等级(0.1， 0.3， 0.5， 0.7， 0.9)代入x，采用极大似然法进行回归，可以得出趋势线y=14 858e^0.389 6x。其中，r^2=98.9%代表这种拟合方法是相对较为理想的对收入水平和收入等级拟合的曲线。三条平行于X轴的直线分别代表了2016年北京市人均养老金支出及其0.8～2倍的范围。上下两条平行线与趋势线相交于X轴坐标0.445和0.916处即rankL和rankH，故采用0.8～2口径的养老保险支出方法计算2016年北京市城乡居民中等收入群体占比为47.1%。

由于(1)式假设的收入和收入等级关系是指数形式的，这个假设对于中间中等收入群体的收入和收入等级的拟合关系比较好，但是在极值部分，靠近最穷和最富的两头，则过于平缓，最穷的人收入是接近于零的，而最富的人收入则能达到平均收入的几千上万倍。在指数关系中，相对于中位数，最富和最穷的人，收入差距仅为处于25%和75%收入等级的人差距的平方倍。换而言之，如果75%收入等级的人收入是25%的人的4倍，那么最富的人是最穷的人的收入的16倍。但现实世界中，这个差距显然更大。基于这个原因，当α和β取值过于偏大的时候，rank就会小于0或者大于1。此时，要限定rank>1时，修改为1，当rank<0时，修改为0。对于大多数情况而言，由于测算的是中等收入群体，因此是不会触碰边界的。而考虑当处于触碰边界的状态时，最富或最穷的人会被包括在中等收入群体之内，所以估计结果会偏高一点。但实际上，这部分人群的实际数量不会太高，而且很难识别，因此这里没有对这个问题进行调整。

此外，除了直接统计全体居民的收入分配情况外，城乡分别统计的情况要根据城乡人口加权平均，得到地方加权平均后的中等收入群体占比数。然而农村的统计情况并不完整。因此，对于存在农村统计情况的地区，采用加权平均的办法计算中等收入群体占比，对于没有农村统计情况的地区，采用城市中等收入群体占比作为替代变量。因为后面要将中等收入群体与财政支出结构进行面板回归，这两种数据都能反映中等收入群体与财政支出结构的关系。