排队是日常生活和工作中常见的现象。例如，上下班坐公共汽车，等待公共汽车的排队；文件等待打印或发送等。排队现象是由两个方面构成的，一方要求得到服务，另一方设法给予服务。我们把要求得到服务的人或物（设备）统称为顾客，给予服务的服务人员或服务机构统称为服务员或服务台（有时服务员专指人，而服务台是指给予服务的设备）。顾客与服务台就构成一个排队系统，或称为随机服务系统。如图6-7所示。一个排队系统由三个主要部分组成：①顾客源和顾客到达系统的方式；②服务系统；③顾客离开系统的方式（是否回到顾客源中）。

图6-7 排队系统的模型

1.排队系统的基本组成部分

（1）输入过程。输入过程是描述顾客来源及顾客是按怎样的规律抵达排队系统的。

1）顾客的数量。可能是有限的，也可能是无限的。例如，工厂内发生故障待修的机器是有限的；到达窗口购票的顾客总体可以看成是无限的。

2）到达的类型。顾客是单个到达，还是成批到达。例如，工厂内发生故障待修的机器是单个到达；在库存问题中，把进货看成顾客到达，则是成批到达。

3）相继到达顾客之间间隔时间的分布。例如，是定长分布还是随机分布，到达间隔时间之间是否独立、分布是否平稳等。

（2）排队规则。排队规则是指服务允不允许排队，顾客是否愿意排队，在排队等待的情形下服务的顺序是什么。可分为以下三类：

1）损失制。顾客到达时，若所有服务台均被占，服务机构又不允许顾客等待，则此时该顾客会自动离去，如通常使用的损失制电话系统。

2）等待制。顾客到达时，若所有服务台均被占，他们就排队等待服务。服务顺序又分为：先到先服务、后到先服务、随机服务、有优先权的服务。在有多个服务台的情形下，顾客到达是排成一个队列还是排成多个队列。

3）混合制。损失制与等待制的混合，分为队长（容量）有限的混合制系统、等待时间有限的混合制系统（等待时间<固定的时间，否则就离去），以及逗留时间有限制的混合制系统。

（3）服务机构。服务机构主要是指服务台的数目。在多个服务台的情形下，是串联还是并联，接受服务是单个还是成批，服务时间的分布，顾客接受服务是否独立。

2.排队系统中的因素

排队系统主要包括队列和可用的服务台数量两部分。在此着重讨论与队列的特征和管理相关的问题，队列结构、服务率及顾客到达与离开的相关问题。在队列中应考虑的因素有队长、队列数和排队规则。

到达服务系统的顾客总体可分为有限总体和无限总体两类。做这一区分很重要，因为这两类问题的分析建立在不同的前提之上，而且解决方式也不一样。

有限总体是指系统中要求服务的顾客数是有限的，通常情况下排成一队。这种有限分类很重要，因为顾客总体中的某一位离开其位置（如一台机器停机待修），顾客数就少了一个，同时减少了下一次需要服务的概率。与之相反，当被服务的顾客回到顾客总体中时，总体人数对服务需求的概率也就增加了。因此，解决有限总体问题的公式和解决无限总体问题的公式是不同的。举例来说，假设一个维修工负责一组六台机器的维修工作，若有一台机器出故障，则机器数就减少为五台，而且这五台中有一台出故障需要维修的概率要比六台时有一台出故障需要维修的概率小。如果两台机器停机，只有四台运转的话，那么这些机器停机需要维修的概率就会再次变小。反之，当某一台机器经修复又重新工作时，机器总数增加了，这样，下一次停机需要维修的概率就增加了。

无限总体是指对于服务系统来说顾客数量足够大，人数增减（顾客需要服务或者服务完的顾客重新回到总体）而引起的总体规模的变化不会对系统的概率分布产生显著影响。以上述有限总体的例子来说，如果是100台机器而非6台，有一两台机器停机的话，那么下一次停机的概率将不会有太大变化，这样就可以认为总体是无限的假设不会有大的误差（基于所有的实际应用目的）。同样，如果将无限总体的公式应用于有1000名病人的医生和有10000名顾客的商场，也不会产生太大的误差。(www.daowen.com)

（1）队长。一般设定为无限队列。在实际中，无限队列比较简单，即相对于服务系统来说相当长的队列。例如，堵塞在立交桥上的车辆或者绕着街区排列成队购买戏票的顾客，都可看成是无限队列。有限队列的讨论反而更为复杂。

加油站、卸货码头和停车场由于法律和实际空间特点而限制了队长。这不仅使服务系统利用率和队长的计算复杂化，而且使实际到达分布变得复杂。那些到达后见没有足够空间而离开的顾客，也许过一会儿再来或者转向别的系统寻求服务。这是有限总体条件下两种不同的表现。

（2）队列数。单列队是指只有一个队列。多列队是指排在两个或两个以上服务台前的多个单列队，或者只在中间某点汇集的多个单列队。对于一个繁忙的服务系统来说，多列队的缺点是：如果前面几个顾客服务时间较短或者那些在其他队列中的顾客需要较短服务时间，则后面到达的顾客会变换队列。队列长度和队列数分类如图6-8所示。

图6-8 队列长度和队列数分类

（3）排队规则。排队规则是指队列中决定顾客接受服务次序的一个或一系列优先法则。这些法则对整个系统的运行有巨大的影响。队列中顾客人数、平均等待时间、等待时间变化范围以及服务设施的效率是受排队优先规则影响的几个因素。

最常用的优先法则是先到先服务法（FCFS）。该法则是指队列中的顾客接受服务的次序以他们的到达顺序为根据，而与其他特征无关。尽管在实际情况中，该规则作为最公平合理的规则而被广泛使用，但是这种法则实际上忽视了要求较短时间服务的顾客。

其他的优先法则有：预订优先、紧急优先、最大盈利的顾客优先、最大的订单优先、最好的顾客优先、队列中最长等待时间的顾客优先和最短承诺日期的顾客优先等，具体分类如图6-9所示。在使用任何一个优先法则时，存在两个现实问题：①确保顾客了解并遵守法则；②保证有一个雇员能对队列进行有效管理的系统（如取号系统）。

（4）服务时间分布。在排队问题的公式中，服务率通常是指单位时间内服务台完成服务的顾客数（如12位/h），而不是指每位顾客的服务时间，如平均每位5min。固定服务时间是指每次服务的时间完全相同，正如固定到达一样，这一特征通常局限于机器受控的运作场所。

当服务时间随机时，则其近似于指数分布。当用指数分布来近似表示服务时间分布时，我们用μ作为每个时间段内被服务的平均顾客数。

图6-9 排队规则分类

（5）队列结构。队列结构包括单通道单阶段、多通道多阶段、单通道多阶段、多通道多阶段以及交叉通道混合型等。单通道单阶段是最简单的队列结构形式，通过简单的公式可以解决到达人数和服务时间的标准分布问题，典型的例子是单人理发店或一个服务员的小商店。多通道单阶段的实例有银行的出纳窗口、铁路的售票窗口等，这种结构的困难在于：任何一个顾客不均匀的服务时间都会引起队列流动的不均匀。单通道多阶段的实例是洗车的整个过程，包括吸尘、打湿、擦洗、晾干等全过程。多通道多阶段的情况与前面的情况类似，只不过这种类型由两个或多个服务台组成。医院里接待病人的系统就是这种结构，因为在本过程中可以有多个服务台，因而可以有多个病人同时被服务。交叉通道混合型一般有两种情况：一种是多通道—单通道结构，如在过桥时，并列的两个队列变成了一队；另一种是交错通道结构，情况类似于多通道多阶段结构。但也有不同之处，如当前某个服务受阻，可能出现从上一通道直接跳过下一通道流动的情况，或者在完成第一个服务后，通道和阶段数将有可能发生改变。

（6）顾客离开类型。接受服务后，顾客离开的情况基本上有如图6-10所示的两种类型：①顾客马上回到顾客源，变成一名新的顾客要求服务；②顾客重新要求服务的可能性极小。第一种情况的例子是机器例行修理后重新使用，但其可能会再次出现故障而需要修理；第二种情况的例子是机器进行彻底检查和修理后，在最近一段时间内不会需要重新维修。简单地说，我们通常称第一种情况为“经常发生的事件”（Recurring-common-cold Case），第二种情况为“只发生一次的事件”（Appendectomy-only-once Case）。

图6-10 顾客离开的情况类型

显然，当顾客源有限时，对回头客服务的任何改变都会改变顾客到达率。这样会引起所研究的排队问题的特征发生变化，于是我们就需要重新分析这一问题。