1.两种可变生产要素的生产函数

在生产理论中，通常以两种可变生产要素的生产函数来考察长期生产。假定生产者使用劳动和资本两种可变生产要素生产一种产品，则两种可变生产要素的长期生产函数可以写为：

2.等产量曲线

一个既定的产量可以用两种要素的不同组合生产出来。因此，两种可变投入的生产函数也可以用一组等产量曲线来表示。

厂商生产某一数量的产品时，两种生产要素可以相互替代。这样，为生产一定产量的产品，厂商可对两种生产要素进行不同数量的组合。等产量曲线（isoquant curve）是指在技术水平不变条件下，生产同一产量的两种可变生产要素投入量的各种不同组合的轨迹。等产量曲线分析方法与需求理论中的无差异曲线分析方法类似，不同的是等产量曲线代表生产函数，反映的是投入产出的物质技术关系。

以常数Q*表示既定的产量水平，则与等产量曲线对应的生产函数为：

如图5-4中，纵轴表示资本K，横轴表示劳动L，K与L都是可变要素，图中的三条曲线分别代表可生产出Q0、Q1和Q2单位产量的劳动与资本的各种有效的组合。每一条等产量曲线上任何一点所表示的要素投入组合所产出的产品数量相等。例如，Q0上的A点与B点相比，要素投入组合分别为（L1，K1）；（L2，K2），但产出量相等，都为Q0。

3.等产量曲线的特征

第一，等产量曲线通常向右下方倾斜，其斜率为负。这是因为等产量曲线上的每一个点通常都代表着能生产同一产量的两种要素的有效组合，这意味着增加一单位某种要素的使用量，要保持产量不变，就必须相应地减少另一种要素的投入量，如果不是这样的话，则说明这一点所代表的投入组合是无效率的。

第二，同一等产量曲线图上的任意两条等产量曲线不能相交，因为这显然与不同的等产量曲线代表不同的产量水平相矛盾。

第三，不同的等产量曲线代表的产量不等，在同一坐标系平面上，一定技术条件下可有无数条等产量曲线，等产量曲线离原点越远所表示的产量水平越高。例如，等产量曲线Q2表示的产量水平高于等产量曲线Q1，所以D点的产出高于C点；等产量曲线Q1表示的产量水平高于等产量曲线Q0，所以C点的产出高于A点和B点。

第四，等产量曲线凸向原点，其斜率是递减的，之所以如此，是因为边际技术替代率具有递减规律。

显然，等产量曲线的几何特征与第二章所分析的无差异曲线是基本相同的，而且通过后面的分析我们将看到，等产量曲线在生产者行为分析中所起的作用，与无差异曲线在消费者行为分析中所起的作用，也是同等重要的。二者的不同点在于，无差异曲线所反映的是消费者对不同商品组合所产生的效用大小的主观评价，而等产量曲线则代表着投入与产出之间的客观的物质技术关系。

图5-4　等产量曲线图

4.射线

在等产量曲线图中，从坐标原点出发引一条射线，那么，这条射线所代表的就是具有相同比例的所有劳动和资本的组合，射线的斜率就等于劳动与资本的这一不变比例。如图5-5所示的射线OABC，该射线上的每一点都代表着用相同比例的不同投入组合所生产的不同产量，随着由原点向较高产量水平方向的移动，所用的每种投入的绝对量都在增加，但二者之间的比例保持不变。这里要特别注意射线与等产量曲线的区别：等产量曲线表示的就是固定的而不是变化的产量水平。

顺便指出，等产量曲线也可以用来表示具有固定技术系数即投入比例固定不变的生产函数。如图5-6所示，资本与劳动之间必须保持的比例就是射线OR的斜率。其等产量曲线为直角，这表明当一种生产要素增加而另一种生产要素保持不变时，其产量不会增加。换句话说，当一种生产要素保持不变时，另外一种生产要素的边际产量为零。

案例5.4 小麦的生产函数

在美国的大型农场中，粮食的生产一般是资本密集型的，其中包含了大量的资本投资，如建筑物、设备等，以及少量的劳动投入；但是，粮食的生产也可以采用精耕细作的方式，用较少的资本、较多的人力来完成。描述农业生产过程的方式之一是用一条（或多条）等产量线，描绘出生产出特定产量的投入组合。下面便是一例，其中的生产函数是统计估计的结果。

下图中的等产量线对应13800蒲式耳的小麦年产量，它与生产函数相关，利用这条等产量线，农场主可以决定在雇佣劳动和使用机器之间何者更合算。假设农场的经营状况目前处于A点，劳动投入L为500小时，资本投入K为100机时，农场主决定减少机器的使用时间。为了得到相同的年产量，他必须多投入260小时的劳动。

图5-5　射线与投入组合不变

图5-6　射线与投入比例固定不变的生产函数

我们可以通过不同的劳动资本组合得到13800蒲式耳的小麦年产量。A点代表资本密集型的生产，B点更倾向于劳动密集型，A和B之间的边际技术替代率为10/260=0.04。

农场主的这个尝试使他逐步了解了小麦的生产函数的等产量线的形状，比较图中的A（L=500, K=100）与B（L=760, K=90），它们都位于等产量线上，农场主发现边际技术替代率等于0.04[-ΔK/ΔL＝-（-10）/260=0.04]。

MRTS使农场主知道增加劳动投入与减少机器使用之间的权衡关系。因为MRTS远小于1，农场主明白当工人的工资等于机器运行的成本时，他将付出更多的资本（在目前的生产水平上，他必须以260单位的劳动去替代10单位的资本）。事实上，农场主知道，除非劳动的价格比机器单位时间的使用成本低廉得多，否则，他的生产方式应更趋向于资本密集型。

这个例子已经表明，了解等产量线和边际技术替代率对一个经理人员而言是十分有益的，它同时说明了为什么在劳动相对昂贵的加拿大和美国，生产大多处于MRTS（资本—劳动比）比较高的阶段，而一些劳动力成本较低廉的发展中国家，则处于较低的MRTS（较低的资本—劳动比）阶段。劳动/资本的具体组合取决于投入品的价格。

图5-7　小麦生产函数的等产量线

资料来源：平狄克.微观经济学（第七版），第198-199页(www.daowen.com)

5.边际技术替代率

正如图5-4所示，大多数等产量曲线之所以是凸向原点的，这是因为边际技术替代率是递减的。所谓边际技术替代率（marginal rate of technical substitution，用MRTS表示）是指，在技术水平不变的条件下，维持相同的产量水平，每增加一单位的某种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量之比。例如，为了生产100单位的某种产品，生产者可以使用较多的劳动和较少的资本，也可以使用较少的劳动和较多的资本，前者可以看成是劳动对资本的替代，后者可以看成是资本对劳动的替代。

以MRTSLK 表示劳动对资本的边际技术替代率，则有：

式中，ΔK和LΔ分别表示资本投入的变化量和劳动投入的变化量。加上负号是为了使MRTS值在一般情况下取正值，以便于比较。

当劳动投入的数量变化趋于无穷小时，则劳动对资本的边际技术替代率可写为：

显然，等产量曲线上某一点的边际技术替代率就是等产量曲线在该点斜率的绝对值。

边际技术替代率还可以表示为两种生产要素的边际产量之比。对于任意一条等产量曲线来说，在维持产量水平不变的前提下，当用劳动投入去代替资本投入时，由增加劳动投入量所带来的总产量的增加量和由减少资本投入量所带来的总产量的减少量必定是相等的。用MPL和MPK表示劳动的边际产量和资本的边际产量，即有：

整理得：

由边际技术替代率的定义，可得：

劳动对资本的边际技术替代率等于劳动的边际产量与资本的边际产量之比。

6.边际技术替代率递减规律

边际技术替代率递减规律是指在维持产量不变的前提下，当一种生产要素的投入量不断增加时，每一单位的这种生产要素所能替代的另一种生产要素的数量是递减的。

边际技术替代率递减的原因解释为：以劳动对资本的替代为例，随着劳动对资本的不断替代，劳动的边际产量逐渐下降，而资本的边际产量逐渐上升。作为逐渐下降的劳动的边际产量与逐渐上升的资本的边际产量之比的边际技术替代率是递减的。

边际技术替代率递减的主要原因在于：任何一种产品的生产技术都要求各种要素投入之间有适当的比例，这意味着要素之间的替代是有限制的。简单地说，以劳动和资本两种要素投入为例，在劳动投入量很少和资本投入量很多的情况下，减少一些资本投入量可以很容易通过增加劳动投入量来弥补，来维持原有的产量水平不变，也就是说，劳动对资本的替代很容易，但是，在劳动投入增加到相当多的数量和资本投入减少到相当少的数量的情况下，再用劳动去替代资本将是很困难的了。

如图5-8所示。等产量曲线凸向原点的原因，实际上是短期生产函数分析中的边际报酬递减规律的作用。随着劳动投入量的增加，其边际产量递减；在生产要素的替代过程中，随着资本投入量的减少，其边际产量递增。这样，为保持相同的产量水平，每减少一单位资本需要增加的劳动投入量越来越多，或者说，劳动替代资本的难度越来越大。

边际技术替代率递减规律决定了等产量曲线一般是凸向原点的。但是，等产量曲线也存在着如下特殊情况：

A.完全替代

完全替代指两种生产要素之间完全可以替代，边际技术替代率不变。等产量曲线为一条直线。

如乐器的制造，可以完全由机器制作，也可以由技艺高超的工匠借助少量的工具完成。

B.完全不能替代

完全不能替代指两种生产要素之间的比例是固定的，不存在替代关系，即固定投入比例生产函数。等产量曲线为一条直角型的折线。

如用风镐对人行道进行翻建，一个工人用一台风镐，一台风镐也只能由一人操作。多人一台风镐或一人多台风镐都不能增加产量。

图5-8　边际技术替代率与等产量曲线的斜率

图5-9　完全替代

图5-10　完全不能替代