在直角坐标系内，以横坐标x表示决策方案的效益值，纵坐标y表示效用值，将某决策者对风险态度的变化关系画成曲线，称为决策者的效用曲线。

确定效用曲线的基本方法有两种。一种是直接提问法，需要决策者回答提问。第二种是对比提问法，此法使用较多。

假设现有A₀、A₁两种方案供选。A₀表示决策者不需要花费任何风险可获得收益x₀，而A₁有两种自然状态，可以概率p获得收益x₁，也可以概率（1-p）获得收益x₂，且x₁>x₀>x₂。

令y_i表示效益x_i的效用值，则x₀、x₁、x₂的效用值分别表示为y₀、y₁、y₂。若在某条件下，决策者认为A₀和A₁两个方案等价，则有

用对比提问法来测定决策者的风险效用曲线，可以提问如下：

1）x₀、x₁、x2不变，改变p，问“当p为何值时，A₀、A₁等价”。

2）p、x₁、x₂不变，改变x₀，问“当x₀为何值时，A₀、A₁等价”。

3）p、x₀、x₁/x₂不变，改变x₂/x₁，问“当x₂为何值时，A₀、A₁等价”。

一般采用改进V-M（Von Neumann-Morgenstern）方法，固定p=0.5、x₁和x₂，改变x₀三次，得出相应的y值，确定三点，作效用曲线。

【例9.6】 假设x₁=-100，x₂=400，取y（x₁）=0，y（x₂）=1，绘制效用曲线。

解 由公式（9-4）可得

0.5y（x₁）+0.5y（x₂）=y₀ （9-5）(www.daowen.com)

第一次提问：“x₀为何值时，式（9-5）成立？”答：“0”。0在-100与400之间，由式（9-5）得到

y（0）=0.5y（-100）+0.5y（400）=0.5×0+0.5×1=0.5

第二次提问：“x₀为何值时，式（9-5）成立？”答：“200”。200在x₁=0与x₂=400之间，则式（9-5）变为

y（200）=0.5y（0）+0.5y（400）

y（200）=0.5×0.5+0.5×1=0.75

第三次提问：“x₀为何值时，式（9-5）成立？”答：“100”。100在0与200之间，则式（9-5）变为

y（100）=0.5y（0）+0.5y（200）

y（100）=0.5×0.5+0.5×0.75=0.625

由点（-100，0）、（0，0.5）、（100，0.625）、（200，0.75）、（400，1）可以绘制效用曲线图，如图9-5所示。

图9-5 效用曲线图