若随机变量X的概率密度为：

则称X服从参数为λ的泊松分布，记为X～P（λ）。其均值和方差分别为

E（X）=λ，Var（X）=λ

1.泊松过程的定义

泊松过程是应用最为广泛的一类随机过程，它常用来描述排队系统中顾客到达的过程、城市中的交通事故、保险公司的理赔次数等。泊松过程是构造更复杂的随机过程的基本构件，是一个非常重要的随机过程。

记N（t）表示在时间区间[0，t）（t>0）内发生的事件数，若N（t）是一个随机变量，则{N（t）|t∈（0，T）}就称为一个随机过程。

【定义8.1】 对于随机过程{N（t），t≥0}，若满足：

1）独立增量性，即对任意n个参数t_n>t_n-1>t_n-2>…t₁≥0，增量N（t₂）-N（t₁），N（t₃）-N（t₂），…N（t_n）-N（t_n-1）相互独立。

2）增量平稳性，即在长度为t的时间区间内恰好到达k个顾客的概率仅与区间长度t有关，而与区间起始点无关。对任意a∈（0，∞），在（a，a+t）与（0，t）内恰好到达k个顾客的概率相等。

3）普遍性，即当t充分小时，有：

则称上述过程为泊松过程，其中λ为泊松过程的参数，且N（t）服从泊松分布。

2.排队系统与泊松过程

若N（t）为时间区间[0，t）（t>0）内到达系统的顾客数，则N（t）是一个随机变量，{N（t）|t∈（0，T）}为一个随机过程。若该随机过程满足：

1）在不相重叠的区间内，顾客的到达数是相互独立的。(www.daowen.com)

2）在时间区间[t，t+Δt）内有顾客的到达数只与区间长度Δt有关，而与区间起始点t无关。

3）对于充分小的Δt，在时间区间[t，t+Δt）内有2个或2个以上的顾客到达的概率极小，以至于可以忽略，即

则认为顾客到达系统的过程是泊松过程，且

式中，λ表示单位时间内到达系统的顾客数。

下面的定理，说明了泊松流与负指数分布之间的关系。

【定理8.1】 在排队系统中，如果到达的顾客数服从以λt为参数的泊松分布，则顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布。

证 设泊松流中顾客相继到达的时间间隔为随机变量T，并且在时刻0有一个顾客到达，则下一个顾客将在时刻T到达。T的分布函数为：

其中P{T>t}表示在[0，t）内没有顾客到达的概率，因此

所以，T的分布函数为：

T的密度函数为：

因此，顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布。

由定理8.1可以看出，“到达的顾客数是一个以λ为参数的泊松流”与“顾客相继到达的时间间隔服从以λ为参数的负指数分布”是等价的。