当某个检验数小于零时，需要调整运量从而改进运输方案，改进方法为闭回路法，其步骤为：

1）确定进基变量。选λ_lk=min{λ_ijλ_ij＜0}对应的变量x_lk进基。

2）确定出基变量。在进基变量x_lk的闭回路中，将标有负号的最小运量θ对应的基变量为出基变量，并打上“×”以表示其为非基变量。

3）调整运量，在进基变量的闭回路中将标有负号的最小运量作为调整运量θ，标有正号的变量加上θ，标有负号的变量减去θ，其余变量不变，然后求新的基本可行解中非基变量的检验数，若全部检验数大于零，停止运算，若存在某个检验数λ_lk<0，则重复步骤1）和2）。

在确定出基变量时，当出现两个或两个以上最小运量θ，在其中任选一个作为非基变量，其他θ对应的变量仍为基变量，运量为零，得到退化基本可行解。在例4.3中求初始基本可行解时，如果同时划去一行一列，导致最后基变量个数少于m+n-1，此时需要在同时划去的一行一列对应打“×”的位置上标上一个“0”，此时也出现退化解。

注：运输单纯形法计算过程中，运量调整后必须将所有非基变量的检验数重新求一次。

【例4.7】 求下列运输问题的最小运输费用的最优解

解 用最小元素法求得初始基本可行解见表4-12。

表4-12

用闭回路法求非基变量的检验数为：

λ₁₁=5-3+4-14+12-8=-4

λ₁₃=9-8+12-14=-1

λ₂₂=6-12+14-4=4

λ₂₄=7-4+14-12+8-2=11

λ₃₁=10-14+4-3=-3

λ₃₄=5-2+8-12=-1

因为有4个检验数小于零，所以这组基本可行解不是最优解。λ₁₁=min{λ₁₁，λ₁₃，λ₃₁，λ₃₄}=-4最小，故选x11进基，调整运量。x₁₁的闭回路是{x₁₁，x₁₂，x₃₂，x₃₃，x₂₃，x₂₁}，标负号的变量是x₁₂、x₃₃、x₂₁，取最小运量：(www.daowen.com)

θ=min{x₁₂，x₃₃，x₂₁}=min{40，15，45}=15

x₃₃最小，故x₃₃出基，调整量θ=15，在x₁₁的闭回路上x₁₁、x₃₂、x₂₃分别加上15，x₁₂、x₃₃、x₂₁分别减去15，并且在x₃₃处打上记号“×”作为非基变量，其余变量的值不变，调整后得到一组新的基本可行解，如表4-13所示。

表4-13

重新求所有非基变量的检验数得：

λ₁₃=3，λ₂₂=0，λ₂₄=7，λ31=1，λ33=4，λ34=-1

λ₃₄=-1＜0，说明还没有得到最优解，x₃₄进基，在x₃₄的闭回路中，标负号的变量x₁₄和x₃₂，调整量为：

θ=min{x₁₄，x₃₂}=min{30，40}=30

x₁₄出基。x₁₂，x₃₄分别加上30，x₁₄和x₃₂减去30，其余变量不变，得到一组新的基本可行解，如表4-14所示。

表4-14

求所有非基变量的检验数得：

λ₁₃=3，λ₁₄=1，λ₂₂=0，λ₂₄=8，λ₃₁=1，λ₃₃=4所有检验数λ_ij≥0，所以得到最优解为：

最小运费：

Z=5×15+8×55+3×30+4×50+12×10+5×30=1075

由λ₂₂=0知，该问题具有多重最优解，求另一个最优解的方法是在x₂₂的闭回路{x₂₂，x₂₁，x₁₁，x₁₂}上任意调整（保持可行），目标值不变，但只能得到一个基本最优解，其他都不是基本最优解，例如x₂₂=5调整后得到最优解