理论教育 一元经济函数中的边际量和弹性:导数视角下的优化问题

一元经济函数中的边际量和弹性:导数视角下的优化问题

时间:2023-05-31 理论教育 版权反馈
【摘要】:我们通常利用边际成本作为总成本的函数变化率预估边际成本,为企业管理者制订在现有成本基础上的最佳产量提供了依据。若只从考虑降低成本的角度看,该企业不能再提高产量,应该降低产量,使该产品的平均成本降低。对弹性分析中,设某个经济函数为y=f,若f在x处可导,则我们称为在x处的弹性。比如,此例中的弹性。

一元经济函数中的边际量和弹性:导数视角下的优化问题

经济学中,边际成本是指每单位新生产(或购买)产品引起的总成本增加的部分,这表明产品每个单位的成本与产品的总量有关。例如,生产第1台自助取款机的成本很高,因为从零开始,除了需要一些原材料外,还需要厂房、生产机器等,而生产第1 000台自助取款机的成本要低得多。

我们从数学角度来分析一下边际成本。假设某企业的某产品的产量为m,成本为C=f(m),则第m个产品的成本为f(m)-f(m-1)=Δf(m)≈dC(m)=C′(m),我们称C′(m)为边际成本函数,因此边际成本就可以约等于函数的变化率,它的意义就是在产量为m0的基础上,生产下一个产品,则总成本将增加C′(m0),需要注意的是,这是一个瞬时值。我们通常利用边际成本作为总成本的函数变化率预估边际成本,为企业管理者制订在现有成本基础上的最佳产量提供了依据。

例2:假设某企业的产品总成本C(万元)具有函数关系:C(m)=0.02m3-0.4m2+4m+150,其中m(万件)为产量。

当该产品的产量为10万件时,则该产品的平均成本为

即该产品的产量为10万件时,产品的平均成本为17元/件。此时产品的边际成本为C′(10)=0.06×102-0.8×10+4=2(元/件),从经济意义上来说,在该产品的产量为10万件的基础上,每多生产1件,产品的总成本增加2元,此时产品的边际成本比平均成本要低。若只从考虑降低产品成本的角度看,该企业可以提高产量从而降低成本。

当该产品的产量为20万件时,则该产品的平均成本为

即该产品的产量为20万件时,产品的平均成本为11.5元/件。此时产品的边际成本为C′(20)=0.06×202-0.8×20+4=12(元/件),从经济意义上来说,在该产品的产量为20万件的基础上,每多生产1件,产品的总成本增加12元,此时产品的边际成本比平均成本要高。若只从考虑降低成本的角度看,该企业不能再提高产量,应该降低产量,使该产品的平均成本降低。

从上述例题的计算过程可以看出,当产品的边际成本C′(m0)低于平均成本时,可以在此时产量的基础上提高产品的产量,使得产品的平均成本降低;当产品的边际成本C′(m0)高于平均成本时,可以在此时产量的基础上降低产品的产量,从而降低产品的平均成本;当边际成本C′(m0)等于产品的平均成本时,可以得到此时产品的平均成本最低,此时产品的产量可以作为该企业在现有成本的前提下的最佳产量。

类似边际成本的概念,边际收益是指增加一单位产品的销售所增加的收入,即最后一单位产品的售出所取得的收益。它可能为正值,也可能为负值。

假设某企业某产品的总利润为L(q)(总利润是关于产量q的函数),则我们称L′(q)为商品的边际利润。它的边际利润的经济意义就是在产品的产量为q0的基础上,每多生产一个产品,则该产品的总利润增加L′(q0)。显然只考虑利润的前提下,若L′(q0)>0时,在产量为q0的基础上,每多生产一个,总利润增加L′(q0),此时可提高产量,使得总利润增加;若L′(q0)<0时,每多生产一个,总利润减少L′(q0),此时需降低产量,增加总利润;若L′(q0)=0时,每多生产一个,总利润不变,此时可以视为最优化生产状况。

例3:某商店出售某种商品,每件进价55元。若每件销售定价64元,则每天可销售300件,且定价每降低1元,每天可多售出50件该商品。问:每件售价为多少时,能够获取最大利润?此时,进货量为多少?

示例分析:设每天的销售量为x件,售价为p元/件,则两者之间的线性关系是:

化简可得:

x-300=50(64-p)……①(www.daowen.com)

利润L(p)的函数解析式为:

L(p)=x(p-55)=-50p2+6 250p-192 500

=-50(p-62.5)2+2 812.5

所以,当p=62.5时,x=375,L(p)取得最大值L(62.5)=2 812.5(元)。

上面的例题是中学数学中比较常见的利润最大化的应用题,基本思路是用数量乘以每件商品的利润,构造利润L关于价格p的一元二次函数,通过求函数最值,来求解利润的最大值。如果从边际利润的角度理解,则应构造利润L和数量x之间的函数关系式。

利用上述求解过程,容易求得:

因此,每多卖出一个单位的商品所获得的利润,即边际利润为:

令L′(x)=0,求得x=375。

由于此处边际成本不变,进价均为55元。而销售定价降低,才能多卖出商品,边际收益递减。所以,当x<375时,边际利润L′(x)>0;当x>375时,边际利润L′(x)<0。只有当x=375时,边际利润L′(x)=0,此时,能够获取最大利润。

我们再来分析这道例题的经济学背景。商品的销量随售价的降低而增加,这是由需求定理决定的,具体来讲,由①式便可得到需求函数x=3 500-50p,它的图像是一条线性的需求曲线。有时候,我们还关心需求量随着价格的增长而减少,每上涨1元,需求量下降50件。有时候,我们还关心需求量对价格的敏感程度——需求弹性。

对弹性分析中,设某个经济函数为y=f(x),若f(x)在x处可导,则我们称为在x处的弹性。弹性函数反映了当x改变了1%时,因变量改变了Ex%。

比如,此例中的弹性。因此,这件商品需求弹性函数的经济意义就是,当商品的价格上涨1%时,商品的需求量x将减少Ep%,而当商品的价格下降1%时,商品的需求量x将增加Ep%。在利润最大时,即价格p=62.5时,此时的需求弹性为,即在商品的价格为62.5元的基础上,若商品的价格上涨(下跌)1%时,需求量x将减少(增加)约8.33%。显然Ep>1,是高弹性的,说明商品的需求变动的百分比高于价格变动的百分比,表明商品价格的变动对需求量的影响较大。

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