某城区有15个社区（1～15），社区位置分布情况见图5-1，其中每个黑色实心三角形代表一个社区，各个社区的位置坐标见表5-5。当地消防部门对历史资料统计得到了各个社区每年发生火灾的平均次数，根据各个社区的居民总数、人口密度、危险物品存放情况等信息，确定了当各个社区发生火灾时，需要的最少消防车数目，以及从发生火灾到消防车赶到事故地点并开始实施救援的最晚时间限制（最长应急响应时间限制），具体数据见表5-5。在该城区有10个消防设施备选点S₁、S₂、S₃、S₄、S₅、S₆、S₇、S₈、S₉、S₁₀，分别用黑点表示，各个消防设施备选点的位置坐标及消防设施年运营成本见表5-6。为了简化问题，我们把社区和消防站都看成一个点。假定每个消防站只有一套消防设施，各个消防站最多能够服务的社区数等见表5-6。消防车辆的行驶速度为0.5km/min，火灾损失与持续时间的二次方成正比，比例系数为β=0.05，每辆消防车每行驶一千米的费用是0.01万元。现欲从10个消防设施备选点中选择若干个建立消防站，问如何选择才能使该城区每年的火灾损失及消防成本之和最小？

图5-1 社区与消防站备选点位置关系图

首先，根据消防站备选点和各个社区的位置坐标，计算出从消防站备选点到社区的直线距离，具体结果见表5-7。

表5-5 各个社区的位置坐标、年平均火灾次数、消防设施需求量、最长响应时间限制

表5-6 各个消防站备选点的位置坐标，消防站最大服务能力、年运营成本

表5-7 消防站备选点到社区的直线距离表d_ij （单位：km）

然后，根据消防车的行驶速度，计算出消防车从各个消防站备选点到各个社区的行驶时间，结果见表5-8。

表5-8 消防车从消防站到社区的行驶时间 （单位：min）

根据题目中给出的消防车行驶速度为0.5km/min，行驶每千米的成本为0.01万元/km，可以计算出消防车每行驶一分钟需要的费用，即α=0.005万元/min。(www.daowen.com)

利用Lingo软件编程直接求解整数线性规划模型，求解结果分别见表5-9及图5-2。图5-2中由消防站指向社区的箭头线表示该消防站为相应社区提供消防服务。

表5-9 各个消防站服务的社区

图5-2 考虑灾害损失情况下选中的消防站及服务社区关系图

从求解结果可以看出，应该选择6个备选点设立消防站，每年的灾害损失及消防设施运营费用之和最小值为218.934万元。

假若不考虑灾害损失，只把消防设施的固定运营成本最低作为目标函数建立模型进行求解，得到的结果仍然是选择6个备选点建立消防站，选中的消防站服务的社区序号见表5-10和图5-3。图中由消防站指向社区的箭头线表示该消防站为相应社区提供消防服务。

表5-10 不考虑灾害损失时选中的消防站及服务社区

图5-3 不考虑灾害损失的情况下选中的消防站及服务社区关系图

比较图5-3和图5-2中的结果可以看出，按照两个模型计算的结果都是应建立6个消防站，但两个模型选中的消防站不完全相同，即便是两个结果中都包含的消防站，其服务社区也不相同。如消防站S₁，在图5-3中，其服务的社区包括离该消防站较远的4号社区，另外，在图5-3中，消防站S₉为8号社区提供消防服务，在实际中，S₉到8号社区的距离是4.4km，消防车行驶在这段路上，至少需要8.8min，已经非常接近8号社区的最大响应时间限制（9min）。这是因为在不考虑灾害损失的模型中并没有考虑消防车行驶在路上的成本，也没有考虑火灾造成的损失，实际上，按照不考虑灾害损失的模型选出来的消防站备选点对应的年总运营费用之和为147万元。而按照考虑灾害损失的模型选出来的消防站的年总运营费用之和为150万元。考虑灾害损失的模型中，虽然消防设施的年运营成本增加了，但灾害损失大大减少了。