石头汤、锅与存量—流量图

一口锅通常用来做汤，但也可以作为一个非常实用的工具，用来教幼儿园的孩子们：造成一个系统里的变化的原因是什么，以及变化是如何用一条倾斜的线来衡量的。在与年幼的孩子们一起使用行为—时间图几年之后，在观察到这些工具的视觉特征是如何帮助孩子们能够清楚地表达自己的思想之后，教师们对于使用存量—流量图的可能性，也感到兴奋不已。

幼儿园老师芭芭拉·卡萨诺瓦（Barbara Casanova）利用一个常见的秋季学期课程，创造出了一个学习机会，向她的学生清楚地展示了存量—流量模式是如何运行的。孩子都熟知的“石头汤”故事讲述了一个聪明的年轻人的民间传说——他通过说服一位老妇人相信他能够用一块石头做出美味的汤来，诱骗这位老妇人为他做了一锅汤。他的确用那块石头做了一锅汤，但那是在老妇人的锅里加上了洋葱、胡萝卜、牛骨、盐、胡椒、麦芽和黄油之后。在芭芭拉的课堂上，学生们要做他们自己的“石头汤”——他们到附近的市场上买了些可口的蔬菜，回到学校之后把这些蔬菜洗净、切好，然后就准备开始做汤了。这也就是系统思考教学开始的时刻。^[7]

学生要根据自己的喜好做出决定，在锅里是放四分之一杯、三分之一杯，还是半杯蔬菜。同时，学生们用图表表示出锅里装的蔬菜的比例。学生们也要做一个纸质的锅，以各种各样的纸片代表汤里加入的蔬菜。对于在这一年中制作“存量和流量图”的学生来说，这个纸质的锅起到的是持续的提醒作用：用图中的长方形代表一种积累。

到锅装满之后，就要开始煮汤了。在一个课堂上，在满满一锅汤正在煮的时候，一位学生敏锐地观察到，有蒸汽从锅里冒了出来，并且蒸汽要作为存量水平的一种变化记录下来。

最后就到了喝汤的时候了，学生们邀请自己的朋友和家长一起来分享他们做的汤。在喝汤的过程中，孩子记录下了汤从锅中盛到杯子里和碗里的次数。他们发现，对于大一点儿的碗，在从锅里向外倒汤的时候，需要倒得急一点儿。由于他们对行为—时间图已经比较熟悉了，学生们就可以在图上画出这个线条的时候，预测它的倾斜度了。他们根据准备汤、烧汤、分汤以及喝汤的整个过程中发生的事情，得出了各种结论。

汤本身并非一个高度复杂的系统。但是，5岁的孩子能够解释积累，能够使用比例和倾斜度这些术语，并且能够将这些信息用到其他有积累现象的系统中，这就很重要了。更强大的是，在这门课结束相当长一段时间之后，这些托儿所的孩子再次回到这个模型，他们仍然可以准确、清晰地解释这些概念。年幼的孩子们可以并且能够做到深度思考甚至抽象思考。为他们提供视觉工具，保证错误认识可以得到澄清，以便他们也能准确地进行思考。这个锅作为真实案例创造出了一个类比，其含义是如何帮助学生产生他们最好的思想。^[8]

在参观动物园中澄清积累的概念

如果以一个具体的例子精心、细致地说明抽象思维，年幼的孩子就有能力进行抽象思维。于是，幼儿园老师芭芭拉·卡萨诺瓦又进一步强化了孩子们的成功——通过参观动物园的例子，她把存量—流量模型是如何运转的概念教给了他们。

参观动物园是幼儿园孩子们在春天里常做的户外活动。在芭芭拉的课上，学生不仅要学习各种动物的知识，还要研究动物园人流进出的速度如何影响到动物园来的人们的体验。他们仔细观察影响人们进出动物园的各种因素。比如，如果人们感到饿了或者看完了所有的动物感到累了，都会离开动物园，例如，“娃娃需要睡一会儿了。”学生们也发现，诸如有一个新出生的动物等特殊事件，也会影响到动物园来参观的人数。

为了表示人数在动物园中的积累，芭芭拉在她的教室里用胶带做了一个大长方形。学生们则制作了一个讲故事的大笔记本。笔记本上的每一页代表了一天中的一个小时，每一个学生都可以选择某个时间，进入和离开动物园。芭芭拉再用一个大时钟，标出了动物园的开放时间。上午9点，4个人进了动物园。10点的时候，6个人进了动物园。11点，5个人进了动物园，但是有3个人离开。在存量和流量图上，这个记录一直持续到下午4点，那时候动物园里就没有游客了。

通过这堂课建立起来的观点，就是存量是一种积累——在这个案例中，是进入动物园的游客人数的积累。学生们亲身走进、走出那个大长方形，就是在模拟存量的变化速度和存量的累积。在这个动态体验之后，学生们就有能力分析影响进出动物园人流的各种因素了。(www.daowen.com)

在这个动物园游戏中，采取了用身体的动作表达存量的方法，这与幼儿园的课程计划中的一个数学游戏相互印证。这个数学游戏要求学生掷一种特别设计的正方体骰子，各面的数字是+1，+2，+3，-1，-2，-3。学生们开始的时候，有三个筹码，根据掷出骰子上的数字，他们在一个盒子里添加或者拿走筹码。这个游戏的目的是帮助孩子学习数数，并建立加减法的基础。芭芭拉用人代替筹码，要求她的学生们模拟动物园中发生的故事，同时还写下了相应的公式。由此，她就强化了与一个简单的存量—流量图相关的数学概念。

当这个数学游戏与动物园存量—流量动态游戏搭配到一起应用的时候，学生们就有更大的机会建立其中的各种联系，也因此从两种不同的活动中，获取了更多的意义。这个动物园存量—流量游戏是一个极好的例子——通过运用系统思考工具，学生们在某个活动中需要进行更多的思考，从而强化了现有标准内容的教学。

猛犸象游戏

在有关冰河时代的社会学学习中，作为课程计划的一部分，马萨诸塞州卡莱尔的三年级学生初次接触到了“猛犸象游戏”。学生们掷出骰子，代表猛犸象的出生和死亡。每一轮游戏结束的时候，这个小组的猛犸象群的规模就会下降，他们依此制作出了行为—时间图。随着游戏的进行，猛犸象群中的猛犸象的数量按年度变化被标在图上，一幅图就呈现出来了。帮助学生看到他们的图表中的模式至关重要，类似“有什么在变化？变化正在怎样发生？为什么会发生变化”等问题的提出，有助于引导对话讨论的过程。一条陡直的曲线的含义是猛犸象数量的迅速减少；而一条较为平坦的曲线，则表明猛犸象数量下降的速度比较缓慢。^[9]

随后，学生和老师又采用了两种不同的系统思考工具，探讨猛犸象的数量与猛犸象出生和死亡之间的关系。他们运用的第一个工具是“因果循环图”，整个班级在一起讨论不同反馈循环的各种特征。在马萨诸塞州的卡莱尔，也就是开发并详细记录这个猛犸象课程的学校，当教师们看到八九岁的学生对于指数衰减的理解程度之后，都感到大为震惊。这个课程的内容是猛犸象的灭绝——当猛犸象的死亡数量高于出生数量时，猛犸象就会濒临灭绝，一位学生提出了一个问题：如果开始时猛犸象的数目不是100只，而是1000只，情况是否会有所不同。大家都不大确定，包括老师在内。有些人认为，如果在开始的时候猛犸象的数量大10倍的话，猛犸象的存活时间也会延长10倍。而另外一位学生却说：不会是这样的，如果每年在3只猛犸象中有1只死亡，那么这个猛犸象群还是会在相同的时间内减少一半，也会在相同的时间内灭绝。这个班级用一个简单的STFLLA模型模拟了这个游戏，结果这个孩子的想法是对的。学生们对于这个游戏，进行了更多的讨论，到了这一段教程结束的时候，大多数学生都理解了“指数衰减”和半衰期的概念——虽然他们并没有使用这些术语。当老师引入这些术语的时候，班上的学生马上就明白了。

对于老师和学生来说，类似的因果循环图提供的是一个示意图，显示出系统中的不同因素是如何相互影响的。最重要的是，大家认识了循环反馈的过程：当一个系统中的不同因素相互影响的时候，因变成了果，果又变成了因。行为—时间图描述的是系统中“发生了什么”，而因果循环图则说的是“为什么会发生”。许多老师被因果循环图所吸引，并逐渐形成了一种描述因果关系的直觉能力。在为一个复杂影响模式提供一种快速图像方面，这些循环图相当实用。然而，虽然在画因果循环图的时候，可以有许多相互联系、缠绕的循环，但用来描述相当复杂而综合的系统，一般还是画得简单些为好。

接下来一步，卡莱尔中学的老师在这个课堂上应用了一个猛犸象游戏的存量—流量图。与因果循环图相比，存量—流量图的用途要丰富、广泛得多，而又由于其非常具体，对于年轻人群体就尤其有价值。当学生（就此而言，也包括成年人）开始以“流入”和“流出”的角度思考问题的时候，他们的思想就会产生一种深层的变化。学生们可以讨论他们在游戏中提到的实际数量，再把它们与随时间变化的积累和流量等概念联系起来。

画存量—流量图，只需要用纸、铅笔或者黑板。随着问题和对话逐渐演进，老师们可以在图的旁边列表标出可能的输入、输出和影响流速的种种因素。随着存量—流量图逐步形成并且变得复杂起来，把这些内容再拿回来讨论，都会有用。

然而，存量—流量图并不总是单独制作出来的。各种存量—流量图往往是在模拟或者建立一个模型的发展过程中画出来的。实际上，如果你画出了一幅定义清晰的存量—流量图，你就已经完成了计算机建模工作的一半了。在许多课堂上，最终的一步是编程开发一个简单的计算机模型，并且通过运行这个模型，观察图表中的变化的模式——就像是在猛犸象游戏中所做的那样。

——罗布·奎登、艾伦·托洛茨基、德布拉·莱内斯