取r1=0.6，r2=0.15，c1=3，c2=2，c3=1，cm=10，cn=5，cr=2.5，l1=3，l2=2;d1、d2分别取在标称值(1.2，0.5)附近波动的随机需求。初始条件为x(0)=(1.3，0.45，0.55)。为了减小系统复杂性，假设初始时无订货偏差，新产品在k=15时刻受到一较大的需求波动(扩大的需求大于预定需求的一半)，再制造产品在这一段时间库存量偏高，因此按照库存互补契约，再制造产品需向新产品销售端提供紧急库存补充。k为有限时间，这里假设k=30。

(1)取a=0，b=0.5，在CPU主频为2.8G，内存为1G的PC机上应用仿真软件Matlab 7.0对最优鲁棒控制策略进行求解。计算结果为:

鲁棒控制策略为

其中，u(k)为具有紧急交互补货时的模型求解，对应的牛鞭效应参数为0.3728。仿真计算结果如图8-9至图8-17所示。

图8-9　新产品库存变化曲线

图8-10　新产品订货变化曲线

图8-11　新产品随机需求变化曲线

图8-12　再制造产品随机需求变化曲线

图8-13　再制造产品库存变化曲线

图8-14　再制造产品订货变化曲线图

图8-15　回收产品库存变化曲线

图8-16　牛鞭效应参数变化曲线

图8-17　供应链总成本变化曲线

由图8-11可以看出，k=15时刻新产品市场需求增长迅速，导致新产品的库存水平在k=16附近迅速下降，而新的订货要在k=17时刻才能到达。假设新产品采用备货销售方式，则此时新产品必须采取由再制造产品紧急库存补充策略，才能减k=16到k=17两订货点间隔期内可能出现的过大缺货率。从图8-12来看，再制造产品的市场需要求在k=15到k=16处于低位，与再制造产品的订货量不一致，表明此时由于新产品应急补货的需要，一部分再制造产品被用来补充新产品的市场需求，避免了新产品库存变量x1减少过多及其订货量u1突增的现象。

图8-16表明:在k=15时刻由于新产品库存波动的增大导致牛鞭效应增大，但随着紧急库存补充策略和鲁棒控制的实施，牛鞭效应迅速减小并趋于稳定。这说明实施鲁棒控制可以在全局范围内对供应链实施优化，从而可以在一定程度上抑制闭环供应链末端需求波动所引起的牛鞭效应现象。

虽然本实例中只考虑一次脉冲型的需求扰动，没有涉及多周期可能出现的脉冲扰动，但这并不妨碍实例对模型的解释，多周期脉冲扰动情形仍然可按本文所述的鲁棒控制策略来实现。(www.daowen.com)

(2)取a=0，b=0.2，应用仿真软件Matlab 7.0对最优控制策略进行求解。各仿真曲线图如下所示。

图8-18　新产品库存变化曲线

图8-19　新产品订货变化曲线

图8-20　新产品随机需求变化曲线

图8-21　再制造产品库存变化曲线

图8-22　再制造产品订货变化曲线

图8-23　再制造产品随机需求变化曲线

图8-24　回收产品库存变化曲线

图8-25　牛鞭效应参数变化曲线

图8-26　供应链总成本变化曲线

对比b=0.5、b=0.2时的两组仿真曲线，分析表明:通过鲁棒控制，在需求波动比较大时，系统库存和订货都能在较短时间内趋于平衡，从而减少了库存成本，并从一定程度上抑制了牛鞭效应。而且从图8-16、图8-25;图8-17、图8-26中，可以进一步发现互补系数越大，牛鞭效应的抑制效果越好，而且闭环供应链运作总成本更低。

本节考虑再制造产品与新产品市场需求的差异性和可替代性，构建了制造/再制造产品的横向交互库存补货模型，并应用鲁棒控制理论和线性矩阵不等式算法对闭环供应链系统的交互库存补货策略进行研究。综合上述仿真分析，研究表明:

(1)通过鲁棒优化控制，在需求波动比较大时，系统库存和订货都能在较短时间内趋于平衡，并能有效抑制牛鞭效应。

(2)由于再制造产品应急补货，避免了新产品库存变量和订货量突变的现象，从而降低了闭环供应链库存管理成本和生产波动。

(3)随着互补系数的增大，牛鞭效应抑制效果变好，因此库存波动及订货(或生产)波动得到的抑制效果更好，而且闭环供应链运作总成本更低。