一、鲁棒性指标及意义

鲁棒性(robustness)是指系统在外部不确定性因素干扰下，维持某些性能的特性，而以系统的鲁棒性作为目标设计得到的控制策略称为鲁棒控制。闭环供应链动态系统(8-6)中，存在制造提前期、废旧产品回收延迟以及随机市场需求等不确定因素，如何在这些不确定条件下，得到一个稳定的制造/再制造生产策略，并抑制牛鞭效应，需要对系统进行鲁棒控制。

本节采用欧阳和达干索(2006)相关研究中的抑制牛鞭效应的鲁棒性指标:

其中，。WI是一个鲁棒性指标，即对于任意的需求形式，能够抑制输入对输出的扰动，降低该鲁棒性指标的值有利于抑制输入对于输出的扰动，达到有效降低库存与生产波动的作用。本书在分析制造/再制造生产波动时取德雷兹内等(2000)相关研究中牛鞭效应指标的定义来描述:

其中σ2(uk)，σ2(dk)分别代表制造/再制造量的方差与市场需求的方差。

二、鲁棒控制算法(www.daowen.com)

基于再制造的闭环供应链动态模型是不确定因素影响下的线性离散时间系统。根据上述鲁棒性指标WI，很容易得知，如果能设计出最小化WI取值的制造与再制造策略，则可以有效改善系统性能。根据吉姆等(1999)，给出闭环供应链系统(8-6)的鲁棒H无穷控制策略，有如下定理成立:

定理8.1对于线性离散时间系统(8-6)，如果对于任意给定γ＞0，存在正定矩阵Q，S1、S2和矩阵M满足下面的线性矩阵不等式(8-9):

则系统(8-6)是具有H无穷范数界γ可正定的，相应的状态反馈控制律为uk=MQ－1xk。定理8.1意味着当λ≤1，若存在制造/再制造混合控制策略uk=MQ－1xk满足线性矩阵不等式(8-9)，则闭环供应链系统的牛鞭效应得到有效抑制。

定理8.1中，选择不同输出参数矩阵C和D，会得到不同的控制策略，并影响系统的动态特性。