本节考虑的闭环供应链系统结构如图8-1所示:制造商既可以通过制造过程生产新产品，同时将回收的产品经过再制造过程重新推向市场;推向市场的产品具有一定的废弃率和回收率。回收的废弃产品通过第三方逆向物流渠道转化为回收库存。因此，对制造商来说，不仅要确定每个生产周期的制造量，也要确定每个周期的再制造量。

图8-1　闭环供应链系统结构

模型假设:

(1)闭环供应链系统由制造商、供应商和第三方逆向物流企业构成，由第三方逆向物流企业回收废弃产品。

(2)回收的废弃产品经过再制造后完全可以转化成新产品，并与新产品在同一市场中销售，即新产品与再制造产品可同质替代。

(3)制造提前期为l1，回收延迟时间为l2。由于废旧产品回收时间较长，而再制造通常为简单的拆卸，维修、测试、组装等过程，耗费时间比较短，因此本文不考虑再制造提前期。

(4)市场库存由于分布在所有消费者手中，因此为一虚拟库存，市场库存每个周期的回收率为r，废弃率为λ。

文中涉及的变量或者符号定义如表8-1。

表8-1　模型变量与符号定义(www.daowen.com)

基于上述假设，建立新产品与再制造产品混合成品库存的动态变化方程:

进一步可得到新产品生产的在制品库存的动态变化方程:

制造商的总库存水平为成品库存与在制品库存之和，即ipk=ink+wipk，有:

回收库存与市场库存的变化如(8-4)和(8-5)所示:

为了便于分析制造提前期及回收延迟对闭环供应链运作的影响，选取状态向量xk=(ink，irk，imk)'，控制向量uk=(u1，k，u2，k)'，扰动向量wk=dk，构建闭环供应链系统的库存动态模型如下:

其中:

在模型(8-6)中，通过赋予矩阵C和D不同的取值来满足实际管理需要，如以闭环供应链运作总成本作为输出变量时，矩阵C和D的取值见式(8-14)。