年金是指间隔相等的系列等额收付款。例如，分期付款赊购、分期偿还贷款、发放养老金、分期支付工程款、每年相同的销售收入、固定资产采用直线法折旧的折旧款等，都属于年金收付形式。

按照款项收付的次数和支付的时间划分，年金分为普通年金、预付年金、递延年金和永续年金四种。四种年金关系如图2-3所示。

图2-3　年金种类

（一）普通年金终值和现值的计算

普通年金又称后付年金，是指各期期末收付的年金。

1.普通年金终值

普通年金终值是指最后一次支付时的本利和，它是每次等额支付的复利终值之和，如图2-4所示。设每年的支付金额为A，利率为i，期数为n，则按复利计算的年金终值FA为：

图2-4　普通年金终值

根据等比数列求和公式简化为：

式中，称为年金终值系数，用符号（F/A，i，n）来表示。该系数值可通过查年金终值系数表获得。

【例2-8】　某公司有一个基建项目，分5年投资，每年年末投入400000元，预计5年后建成。若该项目投资所需款项来自银行借款，借款利率为10%，则该项目的投资总额是多少？

2.普通年金现值

普通年金现值是指为在每期期末取得相等金额的款项，现在需要投入的金额，如图2-5所示。普通年金现值的计算公式为：

图2-5　普通年金现值

根据等比数列求和公式简化为：

式中，称为年金终值系数，用符号（P/A，i，n）来表示。该系数值可通过查年金现值系数表获得。

【例2-9】　同【例2-8】，则5年投入相当于投资期初一次性支付：

（二）预付年金终值和现值的计算

预付年金是指在每期期初支付的年金，又称即付年金或现付年金。预付年金与普通年金的区别仅在于付款时间不同。

1.预付年金终值

预付年金终值是指一定时期内发生在每期期初等额、定期系列收支款项最后一期期末的终值，如图2-6所示。

图2-6　预付年金终值

预付年金终值与普通年金终值的区别在于，付款时间一个在期初，一个在期末，即n期预付年金终值比n期普通年金终值多复利一期利息。计算公式为：

或者理解为，n期预付年金终值比n+1期普通年金终值少最后一期不需计息收付款，以此得出，n期预付年金终值等于（n+1）期普通年金终值系数减A，n期预付年金终值系数等于（n+1）期普通年金终值系数减1。

预付年金终值计算公式还可表示为：

【例2-10】　同【例2-8】，若该基建项目投资款于每年年初支付，则这笔款项相当于第5年年末一次性支付。

方法一：

方法二：

2.预付年金现值(www.daowen.com)

预付年金现值是指一定时期内发生在每期期初等额、定期系列收支款项折算到第一期期初的现值之和，如图2-7所示。

图2-7　预付年金现值

预付年金现值与普通年金现值区别在于，n期预付年金现值比n期普通年金现值少贴现一期。计算公式为：

或者理解为，n期预付年金现值比n-1期普通年金现值多第一期不需计息收付款，以此得出，n期预付年金现值等于（n-1）期普通年金现值系数加A，n期预付年金现值系数等于（n-1）期普通年金现值系数加1。

预付年金现值计算公式还可表示为：

【例2-11】　同【例2-8】，若该基建项目投资款于每年年初支付，则这笔款项相当于第1年年初一次性支付。

方法一：

方法二：

（三）递延年金终值和现值的计算

递延年金是指第一次支付发生在若干期以后的年金，又称延期年金，一般用m表示m期没有发生过支付，以后若干期n期发生定期、等额系列收付款项。

1.递延年金终值

递延年金终值与普通年金的终值计算一样，只是计息期有差别，公式为：

注意：公式中，n表示A的个数，与递延期m无关。

2.递延年金现值

递延年金现值是指间隔一定时期（m期）后每期期末或期初等额收付资金的复利现值之和，如图2-8所示。

图2-8　递延年金现值

递延年金的现值计算有两种方法。

第一种方法，把递延年金视为n期普通年金，求出递延期末的现值，然后再将此现值折现到第一期期初。公式为：

第二种方法，假设递延期也进行支付，先求出（m+n）期的年金现值，然后扣除实际并未支付的递延期（m）的年金现值。公式为：

【例2-12】　某人向某金融机构借入一笔10年期款项，年利率10%，双方约定前4年不还本付息，后6年每年年末等额偿还本息100000元，则该笔款项的现值为多少？

方法一：

方法二：

（四）永续年金现值的计算

永续年金指无限期的定期、等额系列收付的款项，如图2-9所示。永续年金没有终止时间，也就是终值无穷大，无须计算。永续年金的现值可以通过普通年金现值的计算公式得出：

图2-9　永续年金现值

当n→+∞时，（1+i）-n的极限为零，故上式可写成：

【例2-13】　某学校拟建立一项永久性的奖学金，每年计划颁发10000元奖金。若银行定期存款利率为2%，现在应投入多少钱？