上一节分析的是短期生产函数。在短期中，假定投入要素中只有一部分要素可变，而为了简化起见，假定投入要素只有一种可变，其他要素不变，来考查投入与产出的关系。本节分析长期生产函数。在长期中，一切投入要素均可变，为了简化，假定只使用两种要素生产一种产品的情况。这种分析对两个以上的可变要素投入也适用，因为可以把这两种可变要素中的一种看成是所有其他的可变投入要素的组合。分析长期生产函数需要引进等产量曲线、等成本线等几个基本概念。

等产量曲线指其他条件不变时，为生产一定的产量所需投入的两种生产要素之间的各种可能组合的轨迹。

例如，假定有劳动L和资本K两种生产要素投入生产某产品，其生产函数为Q=，当产量Q1=100单位时，可采用的生产方法可如表4-2表示。

表4-2　生产要素的各种组合

把表4-2的数据描绘在以两个要素投入量为坐标轴的坐标图上，可以得出一条生产函数为而Q1=100的曲线，这条曲线就是等产量曲线。如图4-2中的Q1线，这条曲线上的每一点都代表为生产100个单位产品时，两种生产要素可能的种种组合。

假定产量由Q1=100增加到Q2=200，Q3=300，…，则在坐标图上可以给出无数条等产量曲线，如图4-2所示。等产量曲线位置愈高，代表的产量越大，愈是在左下方，代表的产量愈小，图4-2中的三条等产量曲线Q1、Q2、Q3中，Q3＞Q2＞Q1。

从等产量曲线上一点向下作一定数量的移动，如图4-2所示，A点表示10L和80K可生产100单位产品，将L增加到20L，资本减为40K的B点时，根据等产量曲线的特性，产量不变，仍为100单位，增加劳动所得的产量恰恰弥补了因资本投入的一些减少而损失的产量。产量不变，正是两种投入量相互替代的结果。为了表达两种要素相互替代的能力，经济学家提出了边际技术替代率（marginal rate of technical substitution）的概念，也称为生产要素的边际替代率，或技术替代率，简写为MRTS。

图4-2　等产量曲线

边际技术替代率，是指在产量不变的情况下，当某种生产要素增加一单位时，与另一生产要素所减少的数量的比率。

等产量曲线上任一点的边际技术替代率，从几何意义上看，是过该点作等产量曲线的切线的斜率。

假定这种生产函数的一般形式为Q=f（K，L），对此式进行全微分得：dQ=f1dK+f2dL，式中f1、f2分别是产量Q对投入K和L的偏导数，即，这就是投入要素K和L的边际产量（f1=MPK，f2=MPL）。由于在同一等产量曲线上Q为常数，因此dQ=0，即dQ=f1dK+f2dL=0。由此式可推出dK/dL=-f2/f1。可见，任何一点的边际技术替代率等于这点上投入的两种要素的边际产量之比。这一推论还可以这样理解，即增加劳动所增加的产量与减少资本所损失的产量相等，才能维持总产量不变，即MPL·ΔL=-MPK·ΔK，因此，ΔK/ΔL=-MPL/MPK。这里ΔK和ΔL中，一个增大，另一个减少，因此两者之比率为负。这与dK/dL为负值是相吻合的。(www.daowen.com)

等产量曲线有如下性质。

（1）表示某一生产函数的等产量曲线图中，可以画出无数条等产量曲线，并且任何两条等产量曲线不能相交。否则，不符合逻辑。

如图4-3所示，两条等产量曲线Q1、Q2分别代表两种产出水平，若两条曲线相交于a点，则由于a点组合和b点组合都生产Q1，a点和c点的组合都生产Q2，因而b点和c点（显然投入的劳动量不同）也应当生产同一产量，即Q1=Q2，这显然与Q1、Q2代表两种产出水平矛盾。

图4-3　等产量曲线不能相交

（2）等产量曲线上的任何一点的斜率等于该点上以生产要素L代替生产要素K的边际替代率，即MRTSLK=dK/dL，其值不仅为负，而且其绝对值是递减的。

（3）由于等产量曲线斜率绝对值递减，因此等产量曲线一般都凸向原点。

由于等产量曲线的几何特点与无差异曲线相似，故它又被称为生产无差异曲线。但两者有区别，等产量曲线表示产量，无差异曲线表示效用，等产量曲线是客观的，无差异曲线是主观的。

假定用于生产的两种可变要素不能相互替代，那么等产量曲线的形状与上述不同，变成直角折线。例如，若资本和劳动的投入按2∶1的固定比例使用，生产100单位的产量必须投入2单位的资本和1单位的劳动，生产200单位的产量必须投入4单位的资本和2单位的劳动。要是资本为2单位，劳动小于1单位，则资本无法充分发挥作用。在这种固定比例的情况下，等产量曲线表现为如图4-4所示的形式。联结原点与每一等产量线的直角顶点的连线的斜率为固定技术系数。

图4-4　固定技术系数的等产量曲线

图4-4说明假如劳动与资本的投入只有一种增加，一种不变，则增加的劳动或资本的边际产量为零。只有两者同时同比例增加，产量才能按比例地增加。

如果两种投入的要素可以完全替代，则等产量曲线为一条向右下倾斜的直线（图略）。