数学分析包括计算所有项目活动理论上的最早和最迟的开始和结束时间，而不考虑任何资源约束。这一过程所输出的时间结果并不是项目的时间计划，而只是显示了在给定资源约束和其他已知限制条件的情况下，项目活动所依据的时间框架。数学分析方法最初是作为大规模开发研究项目的计划、管理方法而被开发出来的，但现在已应用到军用、民用等各方面大大小小的项目中。在美国，政府规定承包与军用有关的项目时，必须以此为基础提出预算和时间计划并获得批准。我国对数学分析方法的推广和应用也较早，1965年，著名数学家华罗庚教授首先在我国推广和应用了这些新的计划管理方法，他把这种网络计划技术称为“统筹法”。最广泛使用的数学分析方法包括了我们前边介绍的关键路径法、计划评审技术等内容，下边我们再作一综合介绍。

（一）关键路径法（Critical Path Method，CPM）

随着科学技术和生产的迅速发展，出现了许多庞大而复杂的科研工程项目，它们工序繁多，协作面广，常常需要动用大量人力、物力和财力。因此，如何合理、有效地把它们组织起来，使之相互协调，在有限资源下，以最短的时间和最低的费用，最好地完成整个项目，就成为一个突出的问题，而传统手段已不能满足这方面的需求。关键路径法和计划评审技术就是在这种背景下产生的。

关键路径法是在具体、有序的网络逻辑和单点历时估计的基础上，对每一个项目活动计算开始和结束时间。该方法的焦点是计算时差，从而确定哪一项活动具有最小的进度弹性（The Least Scheduling Flexibility）。

关键路径是项目网络中由一系列工作活动所构成的工期最长的那条路径，该路径上的活动即为关键活动。任何一项关键活动不能按时完成，所有处于其后的活动都要往后拖延，整个项目工期就会向后拖延。而处于非关键路径上的活动则具有相对的灵活性。

确定关键路径并不困难，网络图上时间参数的计算在节点数不太多时，可采用两种方法：图上计算法和表上计算法。图上计算法就是在网络图上直接进行计算，并把计算的结果标在图上。表上计算法，又称表格法，就是先编制一个表格，把各项活动的有关资料如节点编号、作业时间等填入表内，然后在表上计算参数。

借助于计算机项目管理软件，网络图计算可自动完成，关键路径也可以自动标出。如果要手工计算，可采用如下步骤：

●完成网络图的绘制，或把所有活动以及工期估计列在一张表上。

●计算每项活动的最早开始时间。一项活动的最早开始时间意味着其所有紧前活动都以最早结束时间完成。当某项活动前面有若干活动时，该活动的最早开始时间等于前面各项活动最早结束时间的最大值。

●计算每项活动的最早结束时间EF，它等于ES加上活动的时间估计。

●计算每项活动的最迟结束时间LF，一般从右往左计算。

●计算每项活动的最迟开始时间LS，它等于LF减去活动的时间估计。(www.daowen.com)

●当某项活动后面有若干项活动时，该活动的最迟结束时间等于后面各项活动最迟开始时间的最小值。

●计算每项活动的时差。时差为零的活动即为关键活动，由关键活动构成的路径为关键路径。此后就可以按日历表编制项目的时间计划了。

在完成上述工作之后，我们现在需要做的是，要么给出一个明确的起始日期，正推项目结束日期；要么给出项目的截止日期，然后反推出项目的开始时间，从而得到可操作的一个进度计划。项目的开始时间可以由项目经理、客户、项目团队成员决定，也可以根据项目的实际情况（如资源配置等）选择某一天开始执行项目。记住应该把规定的休息日和假日排除在实际的时间计划之外。为了便于控制项目的进度，关键路径上的每一项关键活动都应标注上最早开始时间、最早结束时间和最迟开始时间、最迟结束时间。一旦这些时间和日期都标注在项目时间计划表上，一张理想的时间计划表就初步形成了。如果资源配置也已到位，项目就可以进入具体实施阶段了。

需要说明的是，在以上有关关键路径方法的讨论中隐含着一个前提，就是项目活动的持续时间具有单一的估计值，这一估计值是根据历史数据等信息而确定的，采用的是活动持续时间的最可能值。因此，关键路径法主要适用于项目大多数活动同以往执行过多次的其他活动类似，活动历时估计有历史数据可供参考的项目。

（二）计划评审技术（Program Evaluation and Review Technique，PERT）

从美国海军特别项目局在北极星导弹大型开发系统项目中引入计划评审技术开始，该技术在整个制造业得到了快速推广。美国海军建立的计划评审技术的基本内容是：①完成所有项目任务所包含的事件与活动都必须遵循工作分解结构。事件与活动必须遵循能够决定关键路径与次关键路径逻辑的基本规则，按序排列在网络中。②每个活动有最乐观、最可能和最悲观等三种历时估计，据此计算关键路径与时差。

相比于其他方法，计划评审技术的优势在于：①展现了活动之间的关系与问题域。计划评审技术是一种建立较大网络需要的时间计划编制技术，最大优势在于其网络展现了活动之间的关系与问题域，这是其他计划编制方法的欠缺之处。因此，计划评审技术能够确定如何尽最大努力保证项目按时间计划实施。②从制定的可选计划计算达到指定期限的概率。如果决策者了解统计知识，他能够检查标准偏差与数据的完整度。如果只存在最小程度的不确定性，在保留网络分析法优势的同时可以使用单一时间法。③可评估项目变更所产生的影响。计划评审技术可以估算出资源从非关键活动转移到可能的关键活动所产生的影响，也可以评估其他资源与绩效均衡以及实际所需时间与预测时间之差所造成的影响。④可以将大量复杂的数据展现在一张组织完好的图表中，使承包商与客户通过这张图表共同决策。

近几年来，许多公司开始关注计划评审技术在小型项目中的使用。与大型复杂项目中使用该技术不同，在小型项目中存在多种不同的计划评审技术应用方法，适当使用也可以达到很好的效果。比如，可以缩减项目费用与时间，协调并促进计划编制，消除无效时间，对分包商的活动提供更好的调度与控制，制定更好的问题解决程序，缩短例行工作时间，用更多的时间制定决策。

当然计划评审技术也存在不足，比如：其复杂性及对统计知识的要求增大了在实际项目中实施的难度，其报告系统所需的数据多于其他大多数系统。因此，该技术较为费事、昂贵，一般适合应用于大型复杂系统中。历史上，使用计划评审技术的最大问题发生在20世纪60年代，当时英国国防部要求其客户使用计划评审技术描述成本与进度，结果导致承包商的高昂支出。许多人提出计划评审技术有以下缺点：①需要付出大量时间与劳动力；②降低了高层管理者的决策能力；③估算时缺乏对工作所有权的考虑；④时间、成本估算中缺乏历史数据；⑤无限资源的假设不够恰当；⑥需要繁琐细节。

尽管计划评审技术与关键路径法是分别独立发展起来的，但其基本原理一致，即用网络图来表达项目中各项活动的时间进度和它们之间的相互关系，并在此基础上进行数学分析，计算网络中各项时间参数，确定关键活动与关键路线，利用时差不断地调整与优化网络，以求得最佳工期。然后，还可将成本与资源问题考虑进去，以求得综合优化的项目计划方案。这两种方法最主要的区别在于PERT需要使用概率分布的方法来取代关键路径法中使用的最可能时间的估计方法（见图7-1）。

图7-1　PERT和CPM的活动历时估计关系

（三）图表评审技术（Graphical Evaluation and Review Technique，GERT）

计划评审技术中的事项和活动之间的相互关系是确定的，但在生产与实践中，有些事项和活动之间的关系却是随机性的。例如，有些活动可能根本不会执行，有些可能只执行一部分，还有一些可能执行不只一次。这些新的情况要求新的方法的出现，这就导致了图表评审技术的产生。

图表评审技术是由1962年埃斯纳的广义随机网络技术经过埃尔曼夫拉比、普利茨克等人不断完善而发展起来的一种网络分析法。1966年普利茨克在研究阿波罗空间系统的最终发射时间的过程中，提出了图表评审技术，之后在应用中又进一步发展，综合运用网络理论、概率论、信流图理论及模拟技术，使这种方法得到进一步完善，并逐步应用在研究开发规划、存贮分析、油井钻探、工业合同谈判、费用分析、人口动态、车辆运输网络、事故的防范及计算机算法等方面。由于图表评审技术所描述的工序具有随机性，所以所用的网络图是个随机网络。