按照“黑箱子”概念，既含有已知的确切的信息，又含有未知的非确切的信息的系统，可定义为灰色系统，简称灰系统。

按照研究对象的性质和特征，灰色系统可划分为两类：一类是本征灰系统；另一类是非本征灰系统。本征性灰系统是指没有物理原型的灰色系统，如社会系统、经济系统、生态系统等抽象系统；非本征性灰系统是指有物理原型但只能部分可观测的信息不完全系统，如大气系统、水文系统、工程技术系统等。

灰色系统理论应用于电力系统负荷预测，如果将影响负荷的各种复杂因素联合起来看成一个大系统，那么它兼有确定性和不确定性，本征性和非本征性灰色系统特征。原因在于，对于一个特定的电网来说，某一时期内，其发电设备和装机容量是一定的，用电各行业及对象是客观存在的，即用户是确定的。而发电设备受机组状况和能源供应状况影响，用户用电受各种天气和社会因素的影响，用电负荷的大小隐含大量不确定的因素。实际的负荷历史资料能够清楚地显示出其灰色系统特征，年月日的负荷既有逐年增长趋势的确定性的一面，同时又有每年每月每日负荷随机变化的不确定性的一面，因此，可利用灰色系统理论来研究电力系统负荷预测。

灰色系统理论的研究任务是对各种灰色系统进行分析、建模，用以预测、决策、评估、控制等。

1.灰数、灰元、灰关系和灰系统

一个信息不完全的数，称为灰数，记为⊗。例如，“负荷在10MW左右”，“10MW左右”便是灰数，可记为=10，表示⊗的白化数值。又如“今天气温10℃到12℃”，则“10℃到12℃”便是灰数，记为⊗=[10，12]。

信息不完全或内涵难以穷尽的元素，称为灰元。如货币是灰元，一张钞票，它代表多少社会价值，代表多少商品，是难以确定的。

信息不完全或机制不明确的关系，称为灰关系。如某时刻负荷大小和影响负荷的各种因素之间的关系，很难明确，更不容易量化，这便是灰关系。

含灰数、灰元或灰关系的系统是信息不完全的系统，是灰系统。

2.灰关联

具有灰关系的因素是灰因素，灰因素之间的作用，称为灰关联。

灰关联是事物之间的不确定关联，或系统因子之间，因子对主行为之间的不确定关联。

对灰系统来说，影响系统主行为的因子很多，首先要明确因子集，通过定性分析，确定一些作用较明显的因子构成子集。如某地区国民生产总值作为行为特征量，则存在工业产值、农业产值、第三产业产值等多种因子构成因子集。

灰关联分析的基本任务是基于各因子序列，分析和确定因子间的影响程度和因子对主行为的影响程度。

因子集的形成和构造是灰关联分析的前提，将灰关联因子集中的因子作为空间的点，并按距离的三个公理作为点的接近测度，作为“区别”、“评价”、“比较”、“辨别”不同点的依据。

假定x={x0，xi， …}为灰关联因子集，x0为参考序列，xi为比较序列。

为xi对x0在k点的灰关联度，其中ξ为（0，1）中取定的实数。

为xi对x0的灰关联度。

3.灰数生成

累加生成是灰数生成的一种常用生成，记为AGO。灰色系统理论将在某个幅值区间变化的量称为灰量，将某个随时间而变化的灰量称为灰过程。累加生成是灰过程的一种白化方法，以此可以看出灰量累积过程发展态势，可以对原数据离散但积分特征蕴含某种规律的情况加以显露。

设X（0）为原始的离散函数，则

G为一种生成，若有

则称X（1）（k）为X（0）在k点以前的一次生成，类似地有

称X（r）（k）为X（0）（k）的r次生成，若

则称X（r）（k）为X（r-1）（k）的一次累加生成，记为

累减生成是累加生成的逆运算，记为IACO，称

为X（r）（k）一次累减生成。

均值生成是对序列求相邻两数据的平均值，即

则Z（k）为X（k）和X（k-1）的均值生成。(www.daowen.com)

4.灰色建模

将序列建成具有微分、差分、近似指数律兼容的模型，称为灰色建模，所建模型记为GM。一阶一个变量的GM模型记为GM（1，1），一阶n个变量的GM模型记为GM（1，N）。

（1）GM（1，1）模型，其方程为

式中　a、b——常数。

式（12-41）是一般微分方程。设原序列空间有系统的离散输出数列为

则方程

称为GM（1，1）的灰微分方程式，式中x（1）=AGO[x（0）]，（1）是导数dx（1）/dt的背景值，一般是实数集。如果：

1）取dx（1）/dt在k点的灰导数为x（0）（k）；

2）取（1）在k点的值为

3）取GM（1，1）的灰差分形式为

令为参考向量，即，则在最小二乘准则下，有

式中

那么，GM（1，1）的时间响应式为

这样可求生成数的回代计算值（k=1，2，…，n），再求原始数据还原值（k）

再计算残差值，进行后检验模型精度。

上述的GM（1，1）模型，是一种全因果模型，直接对系统输出序列建模，认为输出序列包括了系统各种输入及环境影响所有作用的信息。

（2）GM（1，N）模型。与GM（1，1）模型相比，GM（1，N）模型，除考虑原序列空间有系统输出的离散数列{（k）}外，还要考虑n-1个输入影响的离散数列{（K） }（i=2，…，N），即

其中i=2，…，N。

则方程为

上式是GM（1，N）的微分方程形式，式中为dx（1）/dt的背景值。按照GM（1，1）的建模要求，可得GM（1，N）的差分形式为

记GM（1，N）的参数向量为

则在最小二乘准则下，有

式中

GM（1，N）模型适合于建立系统状态模型、各变量动态关联分析、为高阶系统建模提供基础。GM（1，N）虽然反映的是变量X1的变化规律，但是每一时刻的X1值都依赖于其他变量在该时刻的值，如果除X1以外的其他变量Xi（i=2，…，n）的预测值未求出，则X1的预测值不可能得到。

5.灰色预测

灰色预测是指采用GM模型对系统行为特征值的发展变化进行的预测。若系统存在多个因子的动态关联，就要进行GM（1，1）和GM（1，N）的配合研究。

灰色滤波是灰色预测中的一个重要概念，滤波是指从原信号中提取所需要的信号。以电力系统负荷为例，年变化中的各月用电负荷，是隐含趋势项、季节性和随机干扰项的总和，趋势项信息的提取，就是一个典型滤波问题。

按累加生成建立的GM模型较适合描述系统内在的惯性特性，即趋势项发展变化。对电网负荷预测而言，它反映宏观经济、社会发展综合变化对用电负荷影响，是用电负荷预测最重要信息之一。在电力系统负荷预测中，GM模型主要用来进行中期和长期负荷预测。