与前节相似，本节同样假设班轮公司与NVOCC之间就一段时间内的箱位销售达成包含数量折扣条件的协议，NVOCC承诺的舱位订购量越高，其享受的数量折扣条件越优厚，但若NVOCC未能完成其在签约时所承诺的订舱量，则他需向班轮公司支付一定的罚金。

本节涉及的变量及其含义如下：

1）NVOCC角度的输入变量

N：n家NVOCC序号的集合，{1，2，…，n}；

R：NVOCC将箱位销售给托运人的运价；

D i：第i家NVOCC面对的运力需求；

f i（·）：第i家NVOCC运力需求的概率密度函数；

F i（·）：第i家NVOCC运力需求的累积分布函数；

F-1i（·）：第i家NVOCC运力需求的累积分布函数的反函数。

2）班轮公司角度的输入变量

C：班轮公司的单位运输成本，包括固定成本与变动成本；

W 0：班轮公司提供给NVOCC的基准运价；

P 0：班轮公司针对未能提供约定箱量的NVOCC的基准罚金率（与前节定金原理相似）。

3）决策变量

Q i：班轮公司与第i家NVOCC约定的订舱量；

W（·）：班轮公司在运价协议中提供给NVOCC的折扣运价，是订舱量的函数，取值范围为（C，W 0）；

P：班轮公司针对未能提供约定箱量的NVOCC的折扣罚金率。

4）利润函数

ΠF i：第i家NVOCC的期望利润，也可表示为ΠF i（Qi，W（Q i），P）；

ΠL i：班轮公司从第i家NVOCC处获得的期望利润，也可表示为ΠL i（Qi，W（Qi），P）；

ΠLT：班轮公司从所有NVOCC处获得的总期望利润，也可表示为ΠLT（W（·），P）。

第i家NVOCC的期望利润可以表达为

班轮公司从第i家NVOCC获得的期望利润可以表达为

班轮公司从所有NVOCC获得的总期望利润可以表达为

班轮公司的数量折扣方案可表达为

式中，Q d1与W d1为数量折扣分界点及其对应的折扣价格。

性质1：对于式（4-17）所给出的单分界点数量折扣方案，第i家NVOCC最优订舱数量Q i*可以由下式决定：

其中，

满足式（4-21）且大于Qi1的Qi值：

证明：若第i家NVOCC使用基准运价，则其利润可表达为

(www.daowen.com)

可得ΠF i（Qi，W 0，P）对Qi的一阶导数：

二阶导数：

因为P＞0，R＞W 0，且f i（Qi）＞0，，因此，ΠF i（Q i，W 0，P）是凹函数。为求得可使ΠF i（Q i，W 0，P）取最大值的Q i0值，令，即0。由及可得F i（Q i）=，因此式（4-19）成立。

当第i家NVOCC可使用折扣运价，其利润可表达为

为求取可获得最大收益ΠF i（Q i，W d1，P）的Qi1，令，即可得到式（4-20）。

由W d1＜W 0可知Q i0＜Qi1。由ΠF i（Qi，W d1，P）＞ΠF i（Qi，W 0，P）及Qi 0＜Qi10可知，第i家NVOCC的利润函数如图4-6所示。因此，取决于Q d1的不同位置，将有三种情形，即①Q i01≤Q d1，②Q i1＜Q d1＜Q i01及③Q d1≤Q i1，如图4-7所示。

图4-6　NVOCC在各定金比率下的最优协议箱量与相应收益曲线

证毕。

从班轮公司的角度来看，NVOCC可以根据式（4-18）分为三类：属于第2类的NVOCC会受折扣方案的诱导，选择提升他们的订舱至Q d1；第1类NVOCC属于“小”公司，订舱量远小于折扣点；第3类NVOCC则属于“大”公司，可以搭便车享受折扣优惠。

性质2：对于给定的折扣费率W d1和罚金率P，当Q d1取值为Q i01或任意大于的值时（i∈N），ΠLT取得最大值。

证明：为简明表达，将所有NVOCC按照他们的约定订舱量Q i01升序排列，即Q 011≤Q 021≤…≤Q n01-1≤Q n01，令Q 001=0。整个Q值区间可以分为（Q 001，Q 011]，（Q 011，Q 021]，…，，Q n01]，（Q n01，+∞）。再次用到

图4-7　NVOCC在各定金比率下的最优协议箱量与相应收益曲线

（a）Qi01≤Q d1；（b）Qi 1＜Q d1＜Qi01；（c）Q d1≤Qi1

（1）若Q d1∈（Q 01k-1，Q 01k]，k∈N：

若i≤k，即Q 01i≤Q d1，Q*i=Q i0，班轮公司的相应利润为ΠL i（Q i0，W 0，P）。

若k＜i≤n，即Q 01i＞Q d1，Q*i=max（Qi1，Q d1），班轮公司从第i家NOVCC赚取的利润为ΠL i（max（Qi1，Q d1），W d1，P）。考虑到因此，对于给定的W d1，ΠL i（Q i，W d1，P）随Q i单调递增。所以，当Q d1∈（Q 01k-1，Q 01k]，班轮公司应将Q d1设为Q 01k以获取最大利润。

（2）若Q d1∈（Q 01n，+∞）：

Q 01i＜Q d1，因而对于全体i，Q*i=Qi0，换言之，如果Q d1在该区间，即相当于没有采用折扣方案。相应地，班轮公司从第i家NOVCC赚取的利润为ΠL i（Q i0，W 0，P）。

综上所述，对于给定的折扣费率W d1，当Q d1取值为Q 01i（i∈N）或任意大于的值时，班轮公司可得最大总利润ΠLT。

证毕。

根据性质2，若给定W d1和P组合，通过搜索有限的备选值即可获得最优Q d1的方法。接下来探讨如何求取最优W d1和P的方法，如遗传算法（genetic algorithm，GA）、蚁群优化算法（ant colony optimization，ACO）、粒子群算法（particle swarm optimization，PSO）等算法均可用于搜索可令班轮公司赚取最大利润ΠLT的W d1和P组合（W d1∈（C，W 0），P∈[0，W 0]）。

本书选用遗传算法求解，以下简要说明相应的编码、解码、交叉、变异、适应度评估、选择等步骤。基于MATLAB的遗传算法工具箱实现求解。

第1步：生成W d1和P的初始种群，令gen=1。

第2步：在当前种群下为每个染色体解码。

第2.1步：计算所有n家NVOCC的Qi0、Qi1和Q 01i值。

第2.2步：计算所有Q d1=Qi01时的ΠLT值，令其中最大的ΠLT值为Π*LT。

第3步：gen=gen+1。如果gen值超过设定的最大代数，则转至第4步；否则，生成下一代的种群。

第3.1步：（选择）按照一个预先设定的百分比（通常也称为“代沟”）从前代群体中选取具有最佳适应度的染色体，去除其余染色体。

第3.2步：（交叉）随机但按一定百分比，对第3.1步所选择的染色体使用交叉算子。

第3.3步：（变异）随机但按一定百分比，对第3.2步所获得的染色体使用变异算子。

第3.4步：按照一定百分比，从第3.3步所获得的染色体中选择具有最佳适应度的后代染色体；用新选取的染色体替换前代群体中最差的染色体；转至第2步。

第4步：比较和（班轮公司不采用数量折扣时的利润），选择能够获取最高利润的方案，即班轮公司的最大利润，输出相应的数量折扣方案。