在价格理论的研究框架中，定价方法及其实践一直居于重要的地位，而差别定价方法的研究又是定价方法研究的核心内容之一。

本书主要针对多差别标准下的集装箱班轮运输差别定价问题展开研究，所查阅的文献也主要集中在与此相关的各个方面。

1）基于等级差异的差别定价问题的研究现状

从经济学角度分析，基于等级差异的差别定价问题可视为经济学理论中消费者剩余差别分析、交叉补贴、非线性定价等问题的综合体现。

消费者剩余是微观经济学中的一个重要概念，是指消费者对一定量的商品或服务最多愿意支付的价格与实际支付的价格之差，它是对消费者从交易中所得利益的一种货币衡量。马歇尔从边际效用价值论演绎出所谓“消费者剩余”的概念[3]，而曼昆（1999）[4]则给消费者剩余下了一个很精辟的定义：“消费者剩余等于消费者对一种物品的支付愿意减去他们实际为此所支付的量，它衡量消费者从参与市场中得到的收益，可以通过找出需求曲线以下和价格以上的面积来计算消费者剩余。”其中，消费者对一种物品的支付愿意是由该物品的边际效用决定的，而消费者实际支付的价格则取决于该物品的市场价格，由供求关系决定。消费者剩余是衡量消费者福利的重要指标，被广泛地作为一种分析工具来应用。Varian（1990）[5]提出了关于消费者剩余的几种计算方法。在集装箱班轮运输行业，不同等级标准下消费者剩余值较高的货物在实际运输中并非一定是运输成本较高的货物，从实际业务来看情况往往相反。对于这类问题的解决目前尚未有学者涉足研究。

交叉补贴是指经营单位用从某一项不同的业务经营运作中所获得的资源和利润来支持另一项业务经营运作[6]，是占主导地位的运营商运用其市场地位进行的一种妨碍竞争的定价行为。根据规制经济学理论，为同一个经营单位的两种经营活动提供不同强度的激励会产生交叉补贴问题。交叉补贴有两种表现形式：一是核算交叉补贴，即经营单位通过操纵账目，将一种活动的成本分摊到其他经营活动上，这种交叉补贴行为并没有造成实际配置的扭曲，如果能够建立起严格的会计审计制度，就可以在很大程度上防止产生这种形式的交叉补贴；二是配置交叉补贴，这种形式的交叉补贴不但更加难以发现，而且还会带来实际资源配置的扭曲[7]。因此，交叉补贴定价一直以来就是一种饱受争议的定价手段。

由福利经济学的研究可知，对特定群体直接给予收入补贴要优于通过价格扭曲进行补贴，通过扭曲相对价格来实行交叉补贴和普遍服务等社会目标是低效率的。阙光辉（2003）[8]就提出，在市场经济条件下，消费者面临的价格应是社会生产的边际成本。如果对价格进行人为扭曲，那么资源的有效配置将无法实现。同样，对于实现普遍服务目标，社会税收在效率上也要优于扭曲价格的交叉补贴机制。该作者还在文献[9]中分析了我国现行的销售电价体系中居民电价与商业电价，以及居民电价与工业电价的相对比值，并与其他国家的情况进行了比较，发现在我国存在着非常明显的工业电价和商业电价对居民用电电价的补贴，认为此举显然不符合效率原则，为此提出了我国的销售电价体系的改革方向应该是进一步向效率原则回归的政策建议。针对现行目录销售电价表中的交叉补贴现象，刘贵生和范忠俊（2008）[10]也对其组成结构进行了分析，指出在不同电压等级和不同用户类别之间均存在交叉补贴，并重点对同一电压等级下不同用户类别之间的交叉补贴设计了一个测算模型，以剔除交叉补贴，并以2006年华东某省的相关数据进行了测算，给出了剔除交叉补贴后的销售电价，并说明了该测算模型具有较好的适用性。

Jean Tirole在其经典著作The Theory of Industrial Organization[11]中对非线性定价问题做了比较全面的论述。而此问题在近年的研究中，又陆续取得了一些进展。Hamilton等（2004）[12]研究了有限客户与受约束的重复契约下的非线性价格歧视问题。Andersson（2005）[13]论证了效用函数较弱假设下，若消费者偏好被可微、准线性、单交叉点条件的效用函数取代，垄断者收益最大化特征的鲁棒性。Windcliff等（2007）[14]推导了求解非线性定价偏微分方程的完整单调隐函数离散方法。Page（2008）[15]、Jorge（2008）[16]、Andersson（2008）[17]、Jensen（2008）[18]等学者从数学建模与算法求解角度研究了非线性定价问题。目前非线性定价的研究热点主要集中在电信、网络经营等领域，其他代表性文献还包括文献[19]～[22]等。

目前，在航空客运领域也有一些运用某一特定理论，针对等级差别定价开展的理论研究。

Bodily等（1995）[23]研究了在需求不确定的情况下，何时减少出售低等级舱位的问题，并且计算了期望收益值，文中假设不能重新开放已关闭的舱位，并且低等舱的出售不一定在高等舱之前。许多等（1997）[24]对美国在航空运输产品定价中采用的需求定价法进行了介绍，是国内较早研究需求差别定价的文献。徐玖平等（1999）[25]从垄断者的角度，讨论了垄断产品的价格歧视问题，就质量歧视和数量歧视对消费者边际效用和社会福利的影响进行了分析。贾月梅（2000）[26]通过分析提出，我国航空公司应该采取灵活多变的差别定价策略，提高我国民航整体竞争实力。何德权（2000）[27]首次从理论上分析了收益管理系统定价策略比单一定价策略优越的条件，给出了票价管理中限量售票的经济理论证明，为我国客运定价采用收益管理策略提供了一定的理论依据。谭萍（2001）[28]通过对民航客运票价管理的现状分析，找出了目前民航客运票价管理所存在的问题及其根源，提出了把以“多等级票价体系和多级舱位管理”为核心的收益管理系统作为民航票价管理的目标模式是大势所趋。Li（2001）[29]研究了需求确定情况下的定价问题，在考虑不同售票等级间购票限制的情况下，提出了制订最优价格策略的线性规划方法。该学者在文献[30]中对其2001年的研究成果又进行了深入探讨，在放宽文献[29]中两个假设条件的情况下，通过论证，提出了通用的最优价格准则，并且得出“即使所有等级的机票同时出售，也可以得到最优价格”的结论。杨秀云等（2003）[31]给出了民航业需求差别定价的三个特点，并对民航业需求差别定价的内生性、动态性进行了分析和探讨。

在其他领域，针对等级差别定价的研究则相对比较少见。Ladany（1999）[32]研究了在非线性需求下旅馆的市场细分问题，文中假设每个等级的成本固定，通过动态规划算法，建立了最优模型，用来计算最优的等级数量、每个等级的最优房间数量以及每个等级房间应制定的最优价格。

综上可见，目前针对等级差异的差别定价理论研究主要是基于消费者剩余差别分析、交叉补贴以及非线性定价理论来展开的，而在运输领域的实际应用中，目前只是在航空运输领域开始有了初步研究。就集装箱班轮运输而言，目前可见的、公开发表的专门研究还是凤毛麟角，也仅主要集中在上海海事大学相关学者及研究生的部分著述及课题上。

许波桅（2007）[33]在其硕士论文中对集装箱舱位预售及差别定价问题进行了分析，提出了以舱位预售为平台，开展差别定价的设想。在考虑集装箱海运需求的不确定性和差别定价的基础上，建立了舱位预售收益模型，同时也采集了相关实际数据，借助软件对不同风险下的预售策略进行了实例分析。实际上，该文更加侧重于对预售策略相关问题的研究。段朝辉（2008）[34]在其硕士论文中对“超重箱附加费”进行了研究。从增大船公司收益角度出发，该文基于对数需求函数建立了超重箱最优定价模型，基于集装箱班轮运输交叉补贴问题，对超重箱定价模型进行分析，得出了可以通过对超重箱进行合理定价来解决交叉补贴问题等结论，并对模型进行了求解。

2）基于数量差异的差别定价问题的研究现状

Crowther是早期的数量折扣问题研究者之一，他在文献[35]中论证了当有恰当的数量折扣安排时，供应链中的购买者和供应者都可以同时减少库存成本。Jeuland等（1983）[36]讨论了渠道协调中的定价策略，他们认为数量折扣可以协调渠道成员的运作绩效，也可以分享新增利益。同时，该文献也指出，在协调存在障碍时，特别是双方都在确定有关折扣参数时，需要了解全部的成本信息。Monahan（1984）[37]首次从供应商的视角研究了最优折扣定价问题，并从供应商角度考虑了向单一制造商提供数量折扣定价的经济意义，证明了一种有效的数量折扣定价策略能够影响制造商的订货行为，从而使供应商的利润增加。该篇文献的意义在于，首次从供应商的视角进行了数量折扣的研究，但其也有明显的局限性，即其所模拟的订货批量是仅依赖于双方固定订货成本比率的制造商经济订货批量。

Lal和Stealin（1984）[38]几乎与Monahan同时从卖方的视角研究了数量折扣问题，分析了固定需求时，一个卖者面向一群同质的买者和一个卖者面向一群不同质的买者这两种情况下的数量折扣问题，给出了一个单一价格政策来激励零售商增加订货数量，从而达到减少联合运营成本的目的。研究表明，若双方合作时的订货量大于买方单独决策时的订货量，买方的成本会有所增加，要使买方有联合订购批量订货的激励，就要靠卖方的数量折扣来保证。他还给出了表达数量折扣的一个方案，并对利润分配及订货费是订货量的减函数的情况做出了分析。但是，对于异质购买者，该文献没有能够根据买卖双方的参数给出一个解析解，而只是给出了一个数值算例。Lee等（1986）[39]推广了文献[37]的模型，并将其发展成为一个包括供应商的批量决策模型，其中考虑了供应商所发生的运输成本与固定成本，并允许供应商以任意数量订货，增加了最小边际利润、库存持有成本和价格折扣上限等约束条件。

Goyal等（1989）[40]对前人研究进行了总结，将数量折扣契约模型分为四种：①联合决定经济批量订货模型；②供应商、销售商同时决定订货数量模型；③订货数量不是同时决定的整体模型；④考虑市场营销决策的供应商与销售商协调模型。

Weng（1995）[41]扩展了文献[36]的结论，将视角从供应商角度扩大到从整个供应链的角度来考察数量折扣策略，通过分析供应商和销售商的关系，论证了通过提供数量折扣可以协调供应链中供应商和销售商的关系，并能实现供应链总体利润最大化。李成标（1997）[42]扼要说明了产品价格的数量折扣对买卖双方所带来的好处，提出了在经济批量环境下制定折扣价格的另一种方法，即把卖方和买方利益结合起来的带有数量折扣的定价方法。该方法综合考虑了买方和卖方的利益，以寻求买方和卖方联合成本最低的目标，并且联合成本的节约被买卖双方共同享有，最后详细介绍了实用的折扣定价模型的建立和求解过程。Corbett等（2000）[43]在批量对批量（lot-for-lot）的假设下，研究了非对称信息下的数量折扣策略，并将其同完全信息下的策略进行了对比，研究表明，该策略在完全信息下可使系统取得最佳绩效。

Weng（2001）[44]研究了同质多销售商的情况并得出结论，通过数量折扣和经销许可权费用同样可确保系统达到完美协调。Chen等（2001）[45]描述了由一个供应商与多个制造商组成的供应链协调机制的设计问题，证明了当存在多个非同质制造商时，仅仅基于订货量的价格折扣方案不足以最优化整个系统的利润。数量折扣受益者并不仅是大企业，众多的小企业通过组织正式或非正式的采购联盟也同样能获得数量折扣。Munson等（2001）[46]研究了应用数量折扣实现三层供应链系统协调的问题，该文假设需求固定，以经典经济订购量模型为基础讨论了供应商面对多个不同经销商时，如何设置数量折扣“菜单”（一系列批发价和相应折扣点）以最大化供应商收益的问题，建立了解决该问题的非线性规划模型，给出了求解算法和算例分析，并通过试验证明了其方法的有效性。Gurnani（2001）[47]在单供应商多需求商构成的系统中，研究了不同订单结构的数量定价模型，同时也研究了“订单协调”的问题。

孙会君等（2004）[48]提出，通过采用合适的数量折扣策略，供需双方都可以提高自己的利润。该文献用二层规划模型描述了供应链管理中供应商与订货商合作情况下确定数量折扣及订货量问题，并基于差分算法进行了求解，通过实例分析说明双方合作的二层规划模型能正确表示实际的供需关系，在平衡点可以使双方利益均达到最大。

刘斌等（2005）[49]从供应商的视角研究了连续型数量折扣实现系统完美协调的问题，其首先构建了连续的数量折扣形式，给出了其实现系统完美协调的必要条件，并设计了求解契约参数的迭代算法，然后通过对离散型和连续型数量折扣实现系统绩效改善的差异分析，发现离散型数量折扣无法实现系统完美协调的原因在于其单向激励，而连续型的数量折扣因“销售商数量折扣超额福利”的转移而属双向激励，最后对上述结论进行了释义和算例仿真。彭作和等（2005）[50]建立了一个考虑累进制数量折扣且具有空间约束的多商品订货非线性规划模型，提出了利用拉格朗日松弛法和二分法求解模型的优化方法，得到了零售商的最佳订货和定价策略，数值算例表明，零售商节省的成本可达8%。

赵泉午等（2005）[51]提出，在单个供应商和多个零售商构成的易逝品两级供应链中，供应商仅知道零售商需求分布的可能类型，不知道每个零售商的具体需求分布，存在信息不对称，供应商采用数量折扣策略对零售商进行信息甄别，最大化供应商的期望利润。该文献建立了基于数量折扣策略且能最大化供应商期望利润的信息甄别模型，分析了模型解的性质，给出了求解方法，最后假设零售商市场需求呈均匀分布，采用遗传算法求出了模型的近优解，算例结果表明数量折扣策略能够最大化供应商的期望利润，但不能实现供应链协调。彭作和等（2006）[52]提出，供应链运营中数量折扣不应作为价格歧视的手段，而应成为一种能够促进各方合作的契约，分析了完全信息下数量折扣的合作机理，并设计了一个简单可用的数量折扣模型。丁静之（2006）[53]针对一个制造商和一个零售商的供应链，就确定需求情况下数量折扣策略的协调作用做了分析，并对不确定需求情况下制造商及零售商的最优决策进行了灵敏度分析。王建忠等（2006）[54]提出，在供应链管理中，针对供应商给出的数量折扣优惠，订货商采用合适的订货策略可以提高自己的利润，并针对多供应商条件下具有数量折扣的订货模型给出了基于遗传算法的求解方法，还通过实例加以说明，同时利用该算法确定了多供应商条件下，订货商的订货量在各供应商之间的分配及经济订货批量，并使得订货商的总成本接近最小。

Shin等（2007）[55]认为，数量折扣是供应链中存货协调的基础，但由于为了获取折扣将使得库存量放大，供应链成员在实施数量折扣时会面临困难。他们提出了BRA（Buyer's risk adjustment）模型，使供应商可在不确定需求下分担买方过度库存的风险。Sheen等（2007）[56]认为买卖渠道受贸易信用与运费数量折扣的影响，讨论了如何利用贸易信用实现渠道协调，以及如何利用数量折扣影响贸易信用。论证了当信用保持在适当范围内时，双方利益可以在渠道协调得到提高，而该范围会随着运价折扣的提高变大。Lau等（2007）[57]探讨了单个“报童型”制造商与多零售商之间的价格折扣设计问题，论证了期望利润可以通过设置有吸引力的折扣方案轻易得到优化，这些方案在面对参数估计中的偏差时，有很好的鲁棒性。Liu等（2007）[58]提出，传统的利润最大化问题只是通过区分投入价格进行解决。区别于传统解法，他还用几何解法对此问题进行了求解，该几何解法不仅可以提供全局最优解，还揭示了利润最大化之间的关系。

程石磊等（2008）[59]以订购次数必须为整数这一客观条件为前提，在文献[60]中提出的含数量折扣的买　卖双方多商品联合定购模型基础上，构建了一个更真实、更科学的改进模型，分别对数量折扣策略下多商品单独定购和联合定购时两级供应链成本组成进行了分析，并求出了两种定购情况各自所对应的最优每次定购数量，最后用模拟算例描述了改进模型的运算过程，证明了联合定购相对于单独定购可以节约供应链总交易成本。侯雅莉等（2008）[61]研究了数量折扣契约对三阶层供应链的协调问题，并首次针对供应链系统的全局协调，得出了契约参数以及最优订购量，引入利润分配系数，得出了实现供应链完美协调的条件，通过数值试验得出相应结论：三阶层供应链的数量折扣契约下，制造商和零售商的批发价格不仅与各自的利润分配系数相关，而且随着订购量的变化而变化，在实现全局协调的基础上，系统的完美协调取决于利润分配系数的取值。

近年来，相关研究进展还可参阅文献[62]～[65]等。

不难发现，目前针对数量折扣差别定价问题的研究更多的是专注于理论探讨，其中不少文献是从供应链协调的角度来考察问题的，商品的存货成本往往是这些问题中数量决策的一个重要影响因素。但是，运输服务的产品是货物位移，不存在存货成本的问题，因此针对此类商品的数量折扣问题必须从全新的角度来进行分析。而且，集装箱班轮运输的舱位销售模式还具有其独有的一些特征，在研究相关问题时也需要全面考虑。

3）基于销售时机的差别定价问题的研究现状

动态定价是指根据市场的变化和留存的库存制定不同的价格，以实现收益最大化的策略。20世纪70年代以来，随着经济和市场结构的变化，在营销策略和产品定价上，西方经济学家们推出了一系列新的动态定价模型。这些模型突破了以往经济学中固化的定价模式，把企业的产品品种、市场波动、阶段性竞争等因素纳入了产品定价模型，使定价模型朝多样性和实用性的方向发展。自20世纪80年代初，美国航空公司率先启用“最优动态定价法”概念把这些完全颠倒过来：销售量作为管理者所决定的变量，而价格则为市场所决定。在最优动态定价法下，商家把产品价格视为变量，通过价格的人为动态变动以期实现企业利润的帕累托最优，动态定价由此应运而生。

随着互联网技术和电子商务的进一步发展，许多行业开始使用创新性的定价策略来更有效地管理库存以获取更大的收益。这些定价策略之中，如已经广泛应用于民航、酒店业等行业的收益管理技术，就集中考虑了定价、库存控制和服务质量等因素。正如Gallego等（1994）[66]所言，动态定价机制能够为企业带来巨大的收益。

近年来，动态价格策略研究作为收益管理的一个分支，取得了一定的成果。

文献[66]就产品定价问题提出了产品定价综合模型，在该模型中，他们假定产品的需求过程是连续的，并在需求函数为指数函数的条件下得出了动态价格的最优解。对一般需求函数，他们证明，当产品的销售时间足够长或产品的剩余存量足够大时，单一价格体系是渐近最优的。Weatherford（1994）[67]提出了价格与舱位控制决策的综合公式，但由于收益函数的表达式较复杂，至今未能得出计算结果。

Feng等（1995）[68]就需求函数是一般函数的情形提出了两级价格结构的收益管理模型，并得出了最优定价策略。Feng等（1999）[69]在考虑风险因素及多种票价的基础上提出了更为一般的两级票价结构的收益管理模型。2000年，他们对文献[68]提出的模型又进行了拓展，并允许需求与票价随时间不断变化[70]。Zhao等（2000）[71]在单个产品的价格模型中假定需求平均密度随时间而变化，并证明收益函数是剩余时间和库存量的凹函数。Elmaghraby等（2003）[72]对产品生命周期较长和较短情况下的定价策略、综合考虑库存的定价策略、理性消费者市场中的定价策略等问题进行了文献综述，而Bitran等（2003）[73]则从收益管理角度对动态定价进行了文献综述。正如McGill等（1999）[74]所言，虽然学术界对定价策略与存量控制策略的研究很多，但将两者综合考虑的研究却很少。

大多数连续时间定价模型均假设价格的变动是单向的，不允许价格的逆向运动。Feng等（2000）[75]就不断变化的价格情形提出了时间连续的、多级票价结构的动态定价模型，用点过程密度控制论得出了最优控制时间序列，并且指出这种不断变化的价格策略有利于收益与利润的增加。此外，多数连续时间价格模型侧重于最优价格的分析，而对产生最优价格的可行价格集研究很少。Feng等（2000）[76]同时证明了在可选择的价格集合中存在一个子集，这些子集中的价格和其对应的收益密度（单位时间收益）在图上构成一个最大凹向包络，最优价格只能从这一子集中产生。该理论称为“最大凹向包络理论”，这一理论不仅可用来探讨建立价格和存量控制的综合模型，而且可以在实践中帮助企业制定最优价格组合。

田俊峰等（2004）[77]为研究卖方提供数量折扣安排时，买方优化动态订货批量的决策问题，考虑多种产品、多折扣类型和买卖双方的能力约束，建立了该问题统一的非线性混合整数规划模型，利用禁忌搜索技术设计了启发式算法对模型求解，其提供的算例计算结果也验证了模型和算法的有效性。万福才等（2006）[78]提出，需求敏感模型的价格设定算法能够帮助销售商制定根据消费者购买数量极大化总收益的可变价格决策，通过价格的折扣，可以使买卖双方都能受益。同时，也讨论了基于随机逼近的动态定价算法，并指出了它的不足，进而提出了基于需求敏感模型的价格设定算法。其研究表明，订货量的增长可以使消费者获得更低的价格，同时使销售商获得更多的收益，并降低销售成本。胡杨梅等（2004）[79]则提出，伴随着互联网的普遍接入，拥堵正逐渐成为阻碍有效使用互联网资源的严重障碍，通过构造一个多用户差别定价模型，利用消费者剩余和生产者剩余的概念，简明直观地证明了动态差别价格能够提高经济效益。这也是一个比较新的视角和解决方法。官振中等（2005）[80]以期望收益最大化为目标，研究了基于收益管理的季节性商品的定价策略，给出了在有用户保留价格情况下连续时间定价策略模型，并求出了需求为泊松过程和用户保留价格为指数分布时的最优解。算例分析表明，最优价格是初始库存的递减函数，是潜在购买率和销售时间段的递增函数，期望利润是初始库存和剩余销售时间的递增函数，同时边际期望利润是初始库存的递减函数。罗掌华等（2005）[81]则定性地探讨了互联网对定价机制的影响，考察了动态定价机制在互联网市场环境中的实际运行状况。罗利等（2006）[82]针对易逝性产品中新产品对老产品需求的转移作用，应用收益管理方法得出老产品的最优动态定价策略，并应用最大凹向包络理论给出了简化算法，其数值算例表明，在存在需求转移的情况下，应更早地提供较低的价格，同时也给出了包含生产和定价的综合模型。

朱祎莉等（2006）[83]通过建立概率空间与适应过程空间，尝试了递归效用函数在动态定价中的应用。郭哲等（2006）[84]在电子商务竞争环境下耐用品的动态定价中考虑了成本和顾客期望，并采用多个周期两阶段定价的方法，两个阶段分别选取成本加成和顾客期望定价模型，组合在一起形成一个周期的定价策略，以电子商务运营商的在线销售利润和销售额为算法的性能衡量指标，采用粒子群算法寻找最优降价时间和两阶段的最优价格试验结果，证实了该方法在收敛速度上和计算效率上是可行的，性能也优于多周期只考虑成本的单阶段定价方法。钟宁等（2007）[85]以航空退票问题为例，在收益管理动态定价理论的基础上，运用机票在售票和退票时刻的期望边际价值差来确定退票费，建立了相应的退票费率计算模型，实现了退票费金额与售票时刻、退票时刻及机票销售状态等相关联的动态退票机制。该方法既保障了航空公司的利益，也维护了消费者的权益，还从一定程度上提高了航空资源的利用效率。Wang等（2017）[86]从需求响应的角度出发，研究了针对企业用户的动态电价制定问题，通过调动用户的能动性，引导用户改善用电行为。

李慧（2008）[87]提出一种新的动态定价方法——基于期权的动态定价，并阐述了航空公司可如何被视为期权持有者。同时，她认为在完全竞争市场条件下，可以用偏微分方程来描述机票价格的金融特征，期权价格与市场价格、时间的关系也可用偏微分方程表示，对于此模型使用有限差分方法求解非常有效。肖勇波等（2008）[88]以同一航空公司同一航线上两个不同时段的航班为对象，从乘客在两个航班之间的选择行为出发，研究了航空公司的双航班联合动态定价问题。在该模型中，潜在乘客基于航班时间和机票价格这两个因素做出机票购买的选择，采用乘客的心理价位分布来刻画乘客对价格的敏感性，将乘客划分为对出行时间具有严格要求和出行时间比较灵活两大类别。航空公司基于乘客的需求特征，采用价格手段来引导和控制需求，以双航班的整体期望收益最大化为目标，建立了一个离散时间模型，归纳概括了各周期最优联合定价决策的基本性质，利用该性质可以极大地缩短最优定价决策的搜索空间，从而有效地节省计算时间。

不确定性是现实市场的普遍特性，机械地将各种市场状况看成确定的，并据此进行定价是不甚合理的。不确定性问题也是动态差别定价中不可回避的一个问题。不确定规划是不确定环境下的系统优化理论的重要内容。传统的不确定规划主要分为两大类：随机规划和模糊规划，并且在生产、经济及管理等诸多方面已有广泛应用[89]。

道布斯在文献[90]中指出，如果企业是风险中性的价格制定者且满足需求和成本不确定性加性地进入，成本函数在形式上不是线性的就是二次的，把预期需求函数和预期成本函数视为确定性函数得出的价格，实际上就是企业实际预期利润水平最大化的价格，而在其他情况下两者是有区别的。(www.daowen.com)

另外，对于不确定性定价的研究，Lazear（1986）[91]、Pashigian（1998）[92]在消费者的口味具有不确定性条件下研究了零售厂商的最优定价问题。Banker等（2001，2002）[93，94]在需求函数可以发生随机扰动的情形下，研究了产品生产能力设计和产品定价的问题。包括本节所引文献在内的绝大多数的现有文献，对于不确定性定价问题的研究，几乎都是基于不确定性加性地成为需求或成本的一部分的假设。实际上，加性影响是一个比较特殊的假设，它只适合与需求函数和成本函数发生平移的情形，对随机扰动项具有系统影响的情形却不适用。

方国敏等（2005）[95]就需求、成本不确定性的一般情况，建立了基于期望利润最大化的一般定价模型，并就四种特殊定价模型，在不确定性条件下，对垄断厂商采用确定性定价与采用不确定性定价下的收益及最优产量等情况进行了比较，为垄断者在定价时提供了相应参考。刘晓峰（2007）[96]通过将消费者对网络规模的预期引入消费者的效用函数，刻画了消费者预期如何影响市场潜量，然后通过微分对策，分析了在垄断竞争市场结构中的厂商在考虑消费者预期时，如何动态地决定自己的价格和相应的策略。其结果表明，随着消费者对网络增长预期的增大，将导致更大的网络规模和更低的初始价格，寡头的利润受消费者对其产量预期的影响。

此外，考虑到班轮公司所销售的舱位是典型的易逝商品，易逝商品的定价应与其“消逝”周期或速率有紧密联系，因此易逝商品定价实质上也应属于时基动态差别定价问题的范畴。

对于易逝性产品而言，动态定价策略具有更重要的价值。易逝性产品的价值随着时间急剧的流逝，好的价格机制能够挖掘出产品的最大市场潜力，为企业带来更大的收益。特别地，当企业推出新一代的产品或更高水平的服务产品时，由于新产品对老产品市场的侵蚀作用，一部分原老产品的需求会发生转移。例如，对处于衰退期的高新技术产品而言，产品的价值具有易逝性：一方面市场份额急剧下降；另一方面新产品的上市对老产品的需求又产生巨大的冲击。因此，如何对需求发生转移的易逝性产品实施动态定价策略引导需求的走向，对实现有效的存量管理、提高收益具有显著的意义。

最早对易逝商品进行研究的是Whitin（1957）[97]，他研究了时尚物品在库存周期末期发生过时的情况，其后Ghare等（1963）[98]提出了具有指数衰减率的库存模型，此后关于易逝物品问题的研究成为一个研究热点。但是已有文献多是针对库存管理或配送中心的研究，关于定价问题却相对较少。彭作和等（2004）[99]建立了一个变质率为指数分布的、基于数量折扣的变质商品定价和库存模型，模型考虑资本的时间价值性，并给出了求解模型的算法。其计算结果表明，资本的时间价值性和商品的变质特性对最优决策者有重要影响。丁同庆等（2005）[100]研究了易逝商品的定价问题，并基于随机需求分布假设和利润最大化原则提出了一种新的易逝商品最优定价模型，并将粒子群优化算法引入该模型进行演化求解。张钦红等（2007）[101]以持续变质的易逝物品为研究对象，分析了协调易逝品两级供应链的最优数量折扣合同机制，给出了关于零售商的库存持有成本信息对称及不对称时供应商的最优数量折扣合同。其结论表明，信息对称时，数量折扣合同可以协调供应链，而信息不对称时，单一的数量折扣合同不能取得供应链整体的最优。

黄河等（2007）[102]提出，因为逾期的短生命周期产品的价值近似为0，零售商必须在一定时间内完成对库存产品的销售。由于需求的不确定性，短生命周期产品的零售商们常常通过动态定价的方式来影响需求，实现自身收益最大化。此外，他们还分析了三种最常见的契约形式：回购契约、价格折扣契约和收益共享契约，并认为，只有收益共享契约能够实现零售商动态定价时的供应链协调，而价格折扣契约的变形——数量价格折扣契约也可以实现零售商动态定价时的供应链协调。钟宁（2007）[103]通过对易逝产品及其市场特性的分析，不仅指出了它符合使用收益管理方法的条件，还将动态博弈思想引入其定价销售过程。他运用最优控制理论和动态博弈理论，探讨了易逝品销售商在收益管理过程中根据对消费者效用函数的判断来进行动态定价的方法，并用逆推归纳法分析了完全信息动态博弈情况下的子博弈精炼纳什均衡。最后，对于不完全信息动态博弈情况下的诱导策略也进行了分类建模，得出了有益的结论。

可见，现有文献对时基动态差别定价的研究往往只是针对某一特定方面来展开的，有些研究也难免存在一定的片面性，而有些研究的假设也过于理想化和理论化，与实际应用还有一段距离。此外，目前也未见专门针对集装箱班轮运输的、基于销售时机的差别定价研究。

4）涉及差别定价的博弈问题的研究现状

理论研究中经常涉及的经典博弈模型主要包括库尔诺模型（Cournot model）、贝特朗模型（Bertrand model）、施塔克尔贝格模型（Stackelberg model）以及霍特林模型（Hotelling model）[104，105]。

Cournot模型又称Cournot双寡头模型（Cournot duopoly model）。Cournot模型是早期的寡头模型，它是由法国经济学家Cournot于1838年提出的，是纳什均衡原理的最早体现，通常作为寡头理论分析的出发点。Cournot模型是一个只有两个寡头厂商的简单模型，假定一种产品市场只有两个卖者，并且相互间没有任何勾结行为，但相互间都知道对方将怎样行动，从而各自怎样确定最优的产量来实现利润最大化，因而Cournot模型又称为双头垄断模型，但其结论可以较容易地推广到三个或三个以上的寡头厂商的情况中去。

Cournot模型分析的是两个出售矿泉水的生产成本为零的寡头厂商的情况，其具体假设是：市场上只有A、B两个厂商生产和销售相同的产品，他们的生产成本为0；他们共同面临的市场的需求曲线是线性的，A、B两个厂商都准确地了解市场的需求曲线；A、B两个厂商都是在已知对方产量的情况下，各自确定能够给自己带来最大利润的产量，即每一个厂商都是消极地以自己的产量去适应对方已确定的产量。

双头Cournot模型的结论可加以推广，令寡头厂商的数量为m，则可以得到更为一般的结论：每个寡头厂商的均衡产量=市场总容量/（m+1），行业的均衡总产量=市场总容量×m/（m+1）。Cournot模型的缺陷是假定了厂商以竞争对手不改变产量为条件。

Bertrand模型是由法国经济学家Joseph Bertrand于1883年建立的。Cournot模型和Stackelberg模型都是把厂商的产量作为竞争手段，是一种产量竞争模型，而Bertrand模型是价格竞争模型。

Bertrand模型的建立主要基于以下假设：①各寡头厂商通过选择价格进行竞争；②各寡头厂商生产的产品是同质的；③寡头厂商之间也没有正式或非正式的串谋行为。Bertrand模型假定，当企业制定其价格时，认为其他企业的价格不会因为它的决策而改变，并且n个（为简化，取n=2）寡头企业的产品是完全替代品。A、B两个企业的价格分别为P 1、P 2，边际成本都等于C。根据Bertrand模型，谁的价格低谁就将赢得整个市场，而谁的价格高谁就将失去整个市场，因此寡头之间会相互削价，直至价格等于各自的边际成本为止，即均衡解为P i=P j=MC=C 0。根据Bertrand均衡可以得到两个结论：①寡头市场的均衡价格为P=MC；②寡头的长期经济利润为0。这个结论表明只要市场中企业数目不小于2个，无论实际数目多大都会出现完全竞争的结果，这显然与实际经验不符，因此称为“Bertrand悖论”。

Bertrand模型之所以会得出这样的结论，与它的前提假定有关。从模型的假定来看，至少存在两方面的问题：

（1）假定企业没有生产能力的限制。但如果企业的生产能力是有限的，它就无法供应整个市场，价格也不会降到边际成本的水平上。

（2）假定企业生产的产品是完全替代品。但如果企业生产的产品不完全相同，就可以避免直接的价格竞争。

Bertrand模型假设价格为策略性变量，因而更具现实意义，但是它所推导出的结果却过于极端。由于与现实不甚相符而遭到了很多学者的批评，这也是将其结论谓之“悖论”的主要原因。因此，学者们在研究市场中企业的竞争行为时，更多的是采用Cournot模型，即用产量作为企业竞争的决策变量。

Stackelberg模型是由德国经济学家H.von Stackelberg在20世纪30年代提出的。在Cournot模型和Bertrand模型中，竞争厂商在市场上的地位是平等的，因而它们的行为是相似的。而且它们的决策也是同时的。当企业A进行决策时，它并不知道企业B的决策。但事实上，在有些市场，竞争厂商之间的地位并不是对称的，市场地位的不对称引起了决策次序的不对称。通常，小企业先观察到大企业的行为，再决定自己的对策。Stackelberg模型就反映了这种不对称的竞争。

该模型的假定：主导企业知道跟随企业一定会对它的产量做出反应，因此当它确定产量时，也会同时考虑跟随企业的反应。所以，这个模型也称为“主导企业模型”，即假设厂商A先决定它的产量，然后厂商B知道厂商A的产量后再做出它的产量决策。因此，在确定自己产量时，厂商A必须考虑厂商B将如何做出反应。Stackelberg模型的其他假设与Cournot模型相同。

在Stackelberg模型中，厂商之间存在着行动次序的先后区别。产量的决定依据以下次序：领导性厂商决定一个产量，跟随着的厂商可以观察到这个产量，然后根据领导性厂商的产量来决定它自己的产量。需要注意的是，领导性厂商在决定自己产量的时候，充分了解跟随厂商会如何行动——这意味着领导性厂商可以知道跟随厂商的反应函数。因此，领导性厂商自然会预期到自己决定的产量对跟随厂商的影响。正是在考虑到这种影响的情况下，领导性厂商所决定的产量将是一个以跟随厂商的反应函数为约束的利润最大化产量。在Stackelberg模型中，领导性厂商的决策不再需要自己的反应函数。

Harold Hotelling在1929年对传统的埃奇沃思模型（Edgeworth model）所描述的只有两个卖者的市场中的不稳定因素的观点提出挑战，他认为价格或产出的不稳定并非是寡头垄断的基本特征。在其提出的Hotelling模型中，产品在物质性能上相同的，但在空间位置上有差异。因为不同位置上的消费者要支付不同的运输成本，他们关心的是价格与运输成本之和，而不单是价格。假定有一个长度为1的线性城市，消费者均匀地分布在[0，1]的区间里，分布密度为1。假定有两个商店，分别位于城市的两端，商店A在x=0，商店B在x=1的位置，出售物质性能相同的产品。每个商店提供单位产品的成本为c，消费者购买商品的旅行成本与离商店的距离成正比，单位距离的成本为t。这样，住在x的消费者如果在商店A采购，要花费tx的旅行成本，如果在商店B采购，要花费t（1-x）的旅行成本。

早期研究企业价格歧视的学者都是基于垄断竞争的分析框架，学者们往往都假定某一企业的行为不会对其他企业产生影响，也不会被其他企业影响，即企业之间不存在战略的相互作用，代表学者与文献除了前述之外，比较典型的文献还有：Katz（1983，1984）[106，107]、Borenstein（1985）[108]和Varian（1989）[109]等。但事实上，差别定价策略的实施过程中，竞争对手的影响仍是不容忽略的。

有关寡头企业价格歧视的研究内容涵盖了三类价格歧视问题，Thisse（1988）[110]研究了寡头企业一级价格歧视行为，认为在消费者位置可观测的条件下，企业会对地处不同位置的消费者制定不同的价格，Stole（1995）[111]、Armstrong（2001）[112]与Rochet（2002）[113]以Hotelling模型为基础，研究了寡头企业二级定价行为，提出在均衡时边际价格等于边际成本，二级价格中的固定费用等于企业为消费者提供产品和服务的单位固定费用加上运输费用。Holmes（1989）[114]利用一个对称的双寡头Hotelling模型，在假定消费者是异质且类型可观测的条件下，研究了寡头企业三级价格歧视行为，认为允许价格歧视对产出和福利的影响并不确定。

寡头企业价格歧视的另一个领域是对质量歧视的研究，如在文献[111]和[113]的对称双寡头Hotelling模型中，消费者选择的是产品质量而非数量。Corts（1998）[115]建立了一个质量歧视的非对称双寡头模型，其中，一个企业提供高质量产品，而另一个企业提供低质量产品。他也指出，允许价格歧视会使两企业的价格水平降低。Kuhn（1997）[116]借助共同代理理论，建立了包括双厂商/单零售商的非线性定价模型，即两个厂商将面对同一零售商。Kuhn指出，竞争会使两企业向零售商提供数量折扣形式的批发价格。

姜林等（2002）[117]介绍了如何利用改进的Hotelling模型对Bertrand悖论进行合理的解释，定义了寡头的成本优势，给出了在具有不同成本优势的情况下，不同寡头的最优定位纯策略和各自的最优利润。杜荣等（2003）[118]以GBM模型[119]为框架，提出了两方竞争情况下产品的一个新的竞争扩散模型，对产品的动态定价竞争过程进行了分析。研究表明，垄断情况下动态最优定价策略的一些结论在两方竞争情况下依然成立，且两方的定价行动一致时，对于双方是最有利的。在上述研究结论基础上，作者还对实际应用操作进行了阐述，并给出了一个应用实例。

Côté等（2003）[120]给出了在航空公司相互竞争的条件下，票价问题的两级规划模型，此模型在票价等级的限制下，适用于纯定价问题，但模型的前提是对竞争对手的机票价格变化把握得非常准确，而且该模型不是动态模型。

杨慧等（2006）[121]基于文献[66]的两级价格策略，构建了两种竞争性易逝品降价时点设定问题的Cournot博弈模型，应用图解法求得了Cournot均衡点，得出了在竞争环境下先动企业会推迟降价时点而后动企业会提前降价的结论，并通过实例分析验证了这一结论，同时指出了转移概率对均衡结果的影响。研究结果可以为竞争环境下易逝性产品降价策略的制定提供一定的决策支持。

张勇等（2007）[122]把随机误差所带来的不确定因素引入制造商主导定价数学模型，引入零售价格的期望、方差和转移价格期望，将不完全信息博弈转化为完全信息博弈，并结合最优生产和存储模型，运用泛函极值方法解决了供方先动、需方后动的转移价格定价问题，获得了最优转移价格的结构模型以及预期价格与价格波动的比例关系，进而指出掌握定价主动权的制造商一方掌控了大部分利润。罗利等（2007）[123]应用随机控制理论和博弈理论，建立了竞争市场环境下，两家航空公司的两个航班两级价格动态定价连续时间数学模型，给出了均衡解满足的条件，并探讨了模型求解的方法及相关性质，其给出的数值算例不仅展示了模型在实际操作中应用的流程，而且对比了均衡策略及另外两种策略，说明了均衡策略优于其他两种策略。

杨慧等（2007）[124]研究了采用两级价格策略的易逝性产品关于降价时点的Stackelberg博弈模型，应用图解法获得了Stackelberg均衡点，得出了在竞争环境下先动企业会推迟降价、后动企业会提前降价的结论，并通过算例验证了这一结论，同时还指出了转移概率对博弈结果的影响。

覃毅延等（2007）[125]研究了在弹性需求和易变质物品条件下，当供应商和零售商独自决策时，供应商如何确定最优数量折扣的问题。徐伟康等（2008）[126]通过分析非线性定价下寡头垄断行业的消费者行为和市场格局，发现了当两个企业的固定费用与边际价格的差异不一致时，高类型的消费者偏好高固定费用、低边际价格的产品，而低类型的消费者的偏好则恰恰相反，同时还存在某种类型的消费者对两企业的产品感觉无差异，从而使市场分割为三个部分。

综上所述，价格是企业决策与参与市场竞争的重要因素，但经典博弈模型通常都经过了高度的提炼与抽象，其中未能体现出价格变量具体的生成机理，在差别定价下还难以直接应用。换言之，经典博弈模型在差别定价下的扩展与改进问题还有待进一步深入研究。

5）针对集装箱班轮运输定价问题的研究现状

随着集装箱运输的不断发展，海运集装箱收益管理逐渐成为研究的热点，受到越来越多学者的关注和重视。但在当前已有的定价问题研究文献中，专门针对集装箱班轮运输的定价研究相对还是比较少的。

Ha和Maragos在海运集装箱收益管理方面做出了一些开拓性的工作。Ha（1984）[127]应用期望边际收益和阀曲线模型，对舱位控制策略进行了较为深入的研究。Maragos（1994）[128]研究了单航段和多航段下舱位动态分配和定价问题。李冰州等（2005）[129]建立了集装箱舱位的定价模型，通过数值仿真的方法得到了集装箱的最优舱位定价和分配，并总结了一系列性质及管理原则。阳成虎等（2007）[130]基于收益管理的思想对集装箱舱位定价进行了定量研究，建立了以期望收益最大化为目标、需求服从泊松分布、保留价格服从指数分布的集装箱舱位定价模型，得到了集装箱舱位最优定价方程。

总体看来，目前针对集装箱班轮运输差别定价展开的研究仍较为鲜见，而该领域的研究在整体上也尚处于初探阶段。