（一）层次分析法概述

人们对社会、经济以及科学管理等领域的问题进行系统分析时，面临的常常是一个相互关联、相互制约的众多因素构成的复杂系统。层次分析法（Analytic Hierarchy Process AHP）为分析这类复杂问题提供了一种新的、简捷的、实用的系统分析方法。

层次分析法是美国匹兹堡大学教授T.L.Saaty.基于特征值法的基本思想在20世纪70年代提出的。层次分析法运用了人的分析、判断综合能力，将定性分析和定量分析相结合，把复杂问题逐层分解为各个组成因素，形成层次结构模型，把难于直接做出决策的问题转换为人或专家对各层因素的两两比较判断问题，将人的思维用数字的形式表现出来，具有高度的有效性、可靠性、简明性和广泛的适用性，这一方法的应用已遍及经济计划和管理、能源政策和分配、行为科学、军事指挥、运输、农业、教育、人才、医疗和环境等领域。层次分析法基本步骤如下所述。

（二）建立递阶层次结构模型

应用层次分析法（AHP）分析决策问题时，首先要把问题条理化、层次化，构造出一个有层次的结构模型。在这个模型下，复杂问题被分解为元素的组成部分，这些元素又按其属性及关系形成若干层次。上一层次的元素作为准则对下一层次有关元素起支配作用。

这些层次可以分为三类：

（1）最高层：这一层次中只有一个元素，一般它是分析问题的预定目标或理想结果，因此也称为目标层。

（2）中间层：这一层次中包含了为实现目标所涉及的中间环节，它可以由若干个层次组成，包括所需考虑的准则、子准则，因此也称为准则层。

（3）最底层：这一层次包括了为实现目标可供选择的各种措施、决策方案等，因此也称为措施层或方案层。

图4-6展示了一个典型的层次结构。层次数与问题的复杂程度和所需要分析的详细程度有关。每一层中的元素一般不超过9个，因为同一层次中包含数目过多的元素会给两两比较判断带来困难。递阶层次结构中的层次数与问题的复杂程度及需要分析的详尽程度有关，一般地层次数不受限制。每一层次中各元素所支配的元素一般不要超过9个。这是因为支配的元素过多会给两两比较判断带来困难。

图4-6　层次分析法基本层次模型

（三）构造两两比较矩阵

在建立递阶层次结构以后，上下层之间的隶属关系就被确定了。假定把上一层元素a作为准则，对下一层的元素x1 ，x2，…，xn有支配关系，那么目标是在准则a之下按他们的相对重要性赋予xi相应的权重wi（i=1，2，w，n）。对于大多数社会经济问题，特别是对于人的判断起重要作用的问题，直接得到这些元素的权重并不容易，往往需要通过适当的方法来导出它们的权重。层次分析法采用的是两两比较的方法。

比较n个元素x1 ，x2，…，xn对准则a的影响，以确定它们在准则a中所占的比重。每次取两个元素xi和xj，用aij表示xi和xj关于准则a的相对重要程度之比，其全部比较结果可得矩阵：

A称为比较判断矩阵，简称判断矩阵。

关于如何确定ai的值，Saaty等建议引用数字1-9及其倒数作为标度。如下表所示：

表4-1　1-9标度的含义

这些赋值的根据和来源，可以由决策者直接提供，或通过决策者与分析者的对话来确定，或由分析者通过某种技术咨询来获得，或通过其他合适的途径来确定。一般的，判断矩阵应由熟悉问题的专家独立的指出。

（四）相对权重计算并做一致性检验

已知n个元素u1，u2，…un对于准则a的判断矩阵为A，求u1，u2，…un对于准则a的相对权重w1 ，w2 ，w3，…wn，写成向量形式即为w=（w1，w2，w3，…，wn）T

（1）权重的计算方法

①和法。将判断矩阵A的n个行向量归一化后的算术平均值，近似作为权重向量。

计算步骤如下：

第一步：A的元素按行归一化(www.daowen.com)

第二步：将归一化后的隔行相加；

第三步：将相加后的向量除以n，即得权重向量

②方根法（即几何平均法）。将A的各个行向量进行几何平均，然后归一化，得到的行向量就是权重向量。

计算步骤如下：

第一步：A的元素按行相乘得到一新向量Mi

第二步：将新向量Mi的每个分量开n次方

第三步：将所得向量归一化后即为权重向量Wi

③特征根法（简记EM）。

解判断矩阵A的特征根问题。AW=λmaxW式中λmax是A的最大特征根，W是相应的特征向量，所得到的W经归一化后就可作为权重向量。

④对数最小二乘法。

用拟合方法确定权重向量即：w=（w1 ，w2，w3， ……，wn ）T，使残差平方和位最小。

⑤最小二乘法。确定权重向量，使残差平方和最小。

（2）一致性检验

在计算单准则下权重向量时，还必须进行一致性检验。在判断矩阵的构造中，并不要求判断具有传递性和一致性，即不要求aij * ajk=aik严格成立，这是由客观事物的复杂性与人的认识的多样性所决定的。但要求判断矩阵满足大体上的一致性是应该的。而且上述各种计算排序权重向量（即相对权重向量）的方法，在判断矩阵过于偏离一致性时，其可靠程度也就值得怀疑了，因此要对判断矩阵的一致性进行检验，具体步骤如下：

计算一致性指标C.I.（Consistency Index）

查找相应的平均随机一致性指标R.I.（Random Index）的值。对n=1，2，…，

9，Saaty给出了R.I.的值如表：

表4-2　平均随机一致性指标R.I.

计算一致性比例C.R.（Consistency Ratio）。当C.R.＜0.1时，认为判断矩阵的一致性是可以接受的；当C.R.＞0.1时，应该对判断矩阵做适当修正。为了讨论一致性，需要计算矩阵最大特征根，除常用的特征根方法外，还可使用以下公式：

上式中，A为判断矩阵，W为特征向量，（AW）i表示AW矩阵的第i个元素。

（五）层次总排序及组合权重的一致性检验

按照上述单层次排序方法计算出每一层指标权重之后，按照从高层到低层的顺序，求出各层次相对于上一层指标的排序权重系数，最终求出最低层指标对这一高层指标的排序权重，这个过程成为层次总排序。设某指标体系有A、 B、 C3层，每层第i、j、k个指标的权重分别为Wai， Wbj， Wck，那么最低层指标相对于总目标的权重为W = Wai × Wbj × Wck。层次总排序完成以后，也需要做一致性检验。设B层指标对于A层指标Ai单排序一致性指标为CIi，相应平均随机一致性指标为RIi，则B层总排序的一致性比率。

当CR ＜0.10时，认为层次总排序结果具有较满意的一致性并接受该分析结果。