1.y（n）＝f（x）型

微分方程y（n）＝f（x）的特点是右端只含有自变量，通过直接积分逐次降阶求其通解.

积分一次，得到一个n－1阶方程

再积分一次，得到一个n－2阶方程

依次积分n次，便可得到方程y（n）＝f（x）的通解.

例9　求微分方程y‴＝cosx＋2x的通解.

解　对方程的两端连续积分三次，得

2.y″＝f（x，y′）型

微分方程y″＝f（x，y′）的特点是方程右端不显含未知函数y.引入新变量p＝y′＝则

于是微分方程y″＝f（x，y′）变为

这是一个关于变量x，p的一阶微分方程.如果其通解为

这是一阶微分方程，两端积分，便可得方程y″＝f（x，y′）的通解为

例10　求微分方程xy″＋y′＝0的通解.

3.y″＝f（y，y′）型

微分方程y″＝f（y，y′）的特点是方程右端不显含自变量x.仍作变换p＝y′，由方程的特点需将p化成对y的导数，由复合函数的求导法则，有

于是微分方程y″＝f（y，y′）变为

这是一个关于变量y与p的一阶微分方程.如果其通解为

则(www.daowen.com)

上式分离变量并两端积分，变可得原方程的通解为

例11　求微分方程yy″－（y′）2＝0的通解.

上式分离变量并两端积分，变可得原方程的通解为

若p＝0，即y′＝0，于是y＝C为所给方程的解，并且包含了y＝0.显然y＝C包含在上述通解中.所以原方程的通解为

习题　10.3

1.求下列齐次微分方程的通解或在给定条件下的特解.

（1）y″－4y′＋4y＝0；　（2）y″－y′－2y＝0；

（3）y″＋y′＋y＝0；　（4）y″＋5y′＋6y＝0，y（0）＝1，y′（0）＝6；

（5）y″＋25y＝0，y（0）＝2，y′（0）＝5；（6）4y″＋4y′＋y＝0，y（0）＝2，y′（0）＝0.

2.求下列非齐次微分方程的通解或在给定条件下的特解.

（1）y″＋y＝ex；　（2）y″－6y′＋8y＝8x2＋4x－2；

（3）y″＋y＝cos3x，

（4）y″－y＝4xex，y（0）＝0，y′（0）＝1.

3.求解下列微分方程的通解.

（1）y‴＝x＋sinx；　（2）y″＝xex；

（3）y″－（y′）2＝0；　（4）y″＝y′＋x；

（5）（1＋x2）y″＋2xy′＝0；　（6）y3y″－1＝0.