二阶线性微分方程的一般形式为

其中p（x），q（x），f（x）是x的已知连续函数.

若f（x）≠0，则称方程（10.11）为二阶非齐次线性微分方程.

若f（x）≡0，则称方程

为方程（10.11）对应的二阶齐次线性微分方程.

为了研究二阶线性微分方程解的结构，我们首先引入函数相关性的概念.

定义　设y1（x），y2（x），…，yn（x）为定义在区间I上的n个函数，如果存在n个不全为零的数k1，k2，…，kn，使得

在区间I上恒成立，则称y1（x），y2（x），…，yn（x）在区间I上线性相关；否则，称为线性无关.

特别地，对于两个函数y1（x），y2（x），如≠常数，则称函数y1（x），y2（x）是线性无关的；否则是线性相关的.

例如，函数y1（x）＝sinx与y2（x）＝tanx在任何区间上都是线性无关的，而y1（x）＝x与y2（x）＝5x是线性相关的.

定理1　设函数y1（x），y2（x）是二阶齐次线性微分方程（10.12）的两个解，则y＝C1y1（x）＋C2y2（x）也是方程（10.12）的解，其中C1，C2为任意常数.

该定理的证明过程留给读者自己完成.

根据定理1，我们可以得到齐次线性微分方程（10.12）的通解结构定理.(www.daowen.com)

定理2（齐次线性微分方程的通解结构）　设函数y1（x），y2（x）是二阶齐次线性微分方程（10.12）的两个线性无关的解，则y＝C1y1（x）＋C2y2（x）是方程（10.12）的通解，其中C1，C2为任意常数.

由定理2可知：

（1）一般微分方程的通解不一定包含它的全部解，而线性微分方程无论是齐次的，还是非齐次的，它的通解却包含了它的全部解.

（2）定理2给出了二阶齐次线性微分方程通解的结构.为了求它的通解，只需要求出它的两个线性无关的特解，这两个特解的线性组合即为二阶齐次线性微分方程的通解.

例1　验证y1＝e－x与y2＝e2x都是微分方程

的解，并写出该微分方程的通解.

解　y′1＝－e－x，y″1＝e－x，y′2＝2e2x，y″2＝4e2x.

将上述y1与y2的一阶及二阶导数分别代入微分方程，能使微分方程为恒等式，故y1与y2都是微分方程的解.

由于≠常数，所以y1与y2线性无关，由定理2可得所给微分方程的通解为y＝C1e－x＋C2e2x（C1，C2为任意常数）.

在10.2节中，我们看到：一阶非齐次线性微分方程的通解由两部分构成，其中一部分是它对应的齐次方程的通解，另一部分是它的一个特解.实际上，不仅一阶线性微分方程的通解有这样的结构，二阶乃至更高阶的非齐次线性微分方程的通解也有同样的结构.

定理3（非齐次线性微分方程的通解结构）　设y*是二阶非齐次线性微分方程（10.11）的一个特解，Y是对应的二阶齐次线性微分方程（10.12）的通解，则y＝Y＋y*为二阶非齐次线性微分方程（10.11）的一个通解.

定理4（叠加原理）　设有二阶非齐次线性微分方程