形如

的微分方程称为一阶线性微分方程，其中p（x），q（x）是已知的连续函数.一阶线性微分方程的特点是未知函数y及其导数y′都是一次的.当q（x）≡0时，方程（10.8）变为

方程（10.9）称为一阶齐次线性微分方程.当q（x）≠0时，方程（10.8）称为一阶非齐次线性微分方程.也称方程（10.9）为方程（10.8）所对应的的齐次方程.

一阶齐次线性微分方程（10.9）是可分离变量的微分方程.分离变量，得

上式两端积分，得

y＝0也是方程（10.9）的解，这时在上式中取C＝0即可.于是得到方程（10.9）的通解为

现在我们使用常数变易法来求非齐次线性微分方程（10.8）的通解.常数变易法是把方程（10.9）的通解（10.10）中的常数C换成x的未知函数C（x），即作变换

设上式为方程（10.8）的通解，将其代入方程（10.8），得

化简，得

上式两端同时积分，得(www.daowen.com)

将上式代回，得非齐次线性微分方程（10.8）的通解为

我们将这种用齐次线性微分方程通解中的任意常数变为待定函数来求非齐次线性微分方程通解的方法称为常数变易法.

可以看到非齐次线性微分方程（10.8）的通解中的第一项是非齐次线性微分方程的一个特解，第二项是其对应的齐次线性方程（10.9）的通解.由此可见一阶非齐次线性微分方程的通解是由非齐次线性微分方程的特解与对应的齐次线性方程的通解之和构成的.

例5　求方程xy′＋y＝ex（x＞0）的通解.

习题　10.2

1.求下列可分离变量微分方程的解.

2.求下列齐次微分方程的解.

3.求下列一阶非齐次线性微分方程的解.